§ 14.7. Линейные многошаговые методы. Методы Адамса

1. Методы Адамса.

В одношаговых методах после того как найдено очередное значение в точке значение отбрасывают и уже не используют в последующих вычислениях. Естественно все же попытаться извлечь определенную пользу из информации о значениях решения не в одной, а в к предыдущих точках т. е. применить многошаговый метод.

Среди многошаговых методов наибольшее распространение в практике вычислений получили методы Адамса

Здесь числовые коэффициенты, Уравнение (14.75) позволяет найти новое значение используя найденные ранее значения Поэтому предварительно требуется задание к начальных значений

В случае метод Адамса является явным, так как значение выражается через найденные ранее значения по явной формуле

Если же то для нахождения приходится решать нелинейное уравнение

где известное значение. Поэтому при метод Адамса (14.75) является неявным.

Существуют различные способы вывода формул (14.75). Приведем два из них. Воспользуемся, как и в предыдущем параграфе, равенством

Заменим приближенно функцию интерполяционным многочленом степени принимающим значения в тех узлах значения сеточной функции уже найдены. Интегрирование этого многочлена дает приближенное равенство

В результате от (14.78) приходим к формуле (14.76), соответствующей явному -шаговому методу Адамса-Башфорта.

Замечание Так как многочлен используется для приближения функции вне отрезка, на котором известны ее значения, то в действительности равенство (14.79) основано на экстраполяции. Поэтому соответствующий метод называют еще жстраполяционным методом Адамса.

Если же в интеграле, входящем в равенство (14.78), заменить подынтегральную функцию интерполяционным многочленом степени совпадающим со значениями в узлах то получится формула

соответствующая -шаговому методу Адамса — Моултона. Заметим, что этот метод — неявный.

Замечание. Метод (14.80) принято называть также интерполяционным методом Адамса.

Выведем формулы двухшагового метода Адамса-Башфорта и одношагового метода

Интерполяционные многочлены таковы:

Их интегрирование дает следующие значения:

Таким образом, двухшаговая формула Адаме форта имеет вид

а одношаговая формула Адаме тона — вид

Предложение 14.1. Пусть решение задачи Коши непрерывно дифференцируемо к раз на отрезке Тогда k-шаговый метод Адамса-Башфорта и -шаговый метод Адамса-Моултона имеют порядок аппроксимации, равный k.

Следующая теорема дает основание называть методы Адамса, имеющие порядок аппроксимации, методами порядка точности. Теорема 14.8. Пусть выполнено условие Тогда явные методы Адамса устойчивы на конечном отрезке. Кроме того, при выполнении условия устойчивыми на конечном отрезке являются и неявные методы Адамса.

Замечание. Если выполнено условие то неявные методы Адамса устойчивы при любых

Следствие. Пусть выполнено условие Тогда если k-шаговый метод Адамса имеет порядок аппроксимации, а начальные значения определяются с порядком точности, то метод сходится также с порядком точности. Следствие верно в силу теоремы 14.4.

Приведем расчетные формулы методов Адамса-Башфорта -го порядка точности при :

Приведем также расчетные формулы методов Адамса-Моултона -го порядка точности при

2. Методы прогноза и коррекции.

Может показаться, что при наличии явных формул Адамса высокого порядка точности нет необходимости в использовании неявных формул. Однако в вычислительной практике явные методы Адамса используются очень редко. Одна из основных причин этого состоит в том, что в представляющих наибольший интерес для приложений задачах неявные методы обладают лучшими свойствами устойчивости и позволяют вести расчет с существенно большими шагами, нежели явные методы.

Сложность использования неявных методов Адамса заключается в необходимости решать уравнение (14.77) относительно Значение можно найти, используя, например, метод простой итерации

Так как то при достаточно малых условие сходимости выполнено (см. § 4.4) и метод (14.81) сходится.

Часто за начальное приближение принимают значение, получаемое по явной формуле Адамса, и выполняют только одну итерацию метода (14.81). В результате приходят к методу прогноза и коррекции. Один из широко используемых методов прогноза и коррекции получается при совместном использовании методов Адамса-Башфорта и Адамса-Моултона четвертого порядка точности:

Прогноз:

Коррекция:

Следует подчеркнуть, что результирующий метод оказался явным.

Пример 14.16. Применим описанный выше метод Адамса-Башфорта-Моултона четвертого порядка точности для решения задачи Коши (14.45) с шагом

В качестве начальных значений необходимых для начала вычислений, примем значения, полученные методом Рунге-Кутты четвертого порядка точности и приведенные в табл. 14.4. Затем воспользуемся формулами

Найденные значения и соответствуюащие погрешности приведены в табл. 14.5.

Таблица 14.5 (см. скан)

3. Общие линейные многошаговые методы.

Эти методы, включающие в себя методы Адамса, задаются формулами вида

Предлагается, что Они называются линейными, так как значения входят в формулу (14.82) линейно.

Замечание. Методы (14.82) принято также называть конечно-разностными методами, а дискретную задачу Коши для уравнения (14.82) — конечно-разностной схемой (или просто — разностной схемой).

4. Методы с переменным шагом и переменным порядком.

На основе методов Адамса создан ряд весьма сложных, но и эффективных программ. В них предусматривается не только автоматический выбор шага (подобно тому, как это делается для методов Рунге-Кутты), но и

автоматический выбор порядка метода. И шаг метода, и его порядок (в некоторых программах порядок точности может достичь 13) меняются в ходе вычислительного процесса, приспосабливаясь к характеру поведения искомого решения.

Методы Адамса требуют меньшего числа вычислений правой части дифференциального уравнения по сравнению с методами Рунге-Кутты того же порядка точности. Для них существуют эффективные методы апостериорной оценки локальной погрешности. Недостатком методов Адамса является нестандартное начало вычислений. Для определения значений необходимых для работы -шагового метода, используются методы Рунге-Кутты либо другие многошаговые методы. В разработанных к настоящему времени стандартных программах эта проблема решена.