§ 5.12. Дополнительные замечания

1. Более подробное и в то же время доступное изложение рассмотренных в этой главе вопросов можно найти, например, в [38], [39], [67], [87].

2. Предположим, что требуется решить систему линейных алгебраических уравнений с неизвестными, где Так как число уравнений превышает число неизвестных, то вполне вероятно, что рассматриваемая система не имеет решения. Хотя уравнения системы нельзя удовлетворить точно, можно попытаться удовлетворить их как можно точнее, минимизируя величину вектор» невязки Выбор в качестве минимизируемой величины евклидовой нормы невязки приводит к методу наименьших квадратов решения переопределенных систем линейных уравнений [50].

Отметим, что в гл. 11 метод наименьших квадратов рассматривается в связи с задачей приближения таблично заданной функции.

3. Интересной модификацией метода Гаусса является алгоритм Краута, основанный на изменении порядка выполнения арифметических операций. Существуют два случая, когда эта модификация может иметь преимущества. Во-первых, алгоритм Краута выгоден тогда, когда для вычислений используется микрокалькулятор, так как алгоритм позволяет избегать выписывания прюмежуточных результатов. Во-вторых, он приводит к меньшей вычислительной погрешности при условии, что вычисления ведутся на ЭВМ, обладающей сравнительно быстрой арифметикой с расширенной точностью или особенно быстрюй операцией вычисления скалярных произведений

Обсуждение модификации Краута можно найти, например, в [67], [87].

4. Следует отметить, что в данной главе оказались практически не отраженными прямые методы решения систем уравнений с разреженными матрицами (исключение составляет § 5.9, посвященный методу прогонки). Желающим найти доступное изложение современных прямых методов, предназначенных для решения очень больших линейных систем с разреженными матрицами, можно посоветовать обратиться к [40]. Укажем также на книги [30], [63], [94], специально посвященные технологии разреженных матриц.