§ 15.3. Метод конечных разностей: аппроксимации специального вида

1. Случай временного коэффициента k(x).

Вернемся к проблеме численного решения краевой задачи

По сравнению со случаем рассмотренным в предыдущем параграфе, единственное видимое отличие состоит в необходимости выбора подходящей аппроксимации для выражения Рассмотрим некоторые из возможных подходов к выбору аппроксимации.

Введем обозначения Аппроксимируем производную при следующим образом:

Используя далее приближенные формулы

получаем аппроксимацию

В результате приходим к разностной схеме вида (15.15), (15.16), где

Отметим, что коэффициенты соответствующей системы сеточных уравнений удовлетворяют условиям (15.23). Следовательно, при любом решение разностной схемы существует и единственно. Кроме того, в силу леммы 15.1 для разностной схемы справедлив принцип максимума. Можно показать также, что разностная схема устойчива и сходится со вторым порядком точности, если коэффициенты являются дважды непрерывно дифференцируемыми на отрезке функциями.

Формальный подход к выбору аппроксимации дифференциального уравнения может давать разностные схемы, обладающие теми или иными дефектами. Например, кажется удобным предварительно преобразовать первое слагаемое уравнение (15.43) следующим образом: После такого преобразования для этого слагаемого естествен выбор аппроксимации

приводящей к разностной схеме с оператором

Заметим, что коэффициенты соответствующей системы сеточных уравнений

удовлетворяют условиям (15.23), гарантирующим наличие принципа максимума, только если

Таким образом, в случае, когда коэффициент к может резко меняться на отрезке ограничение (15.49) приводит к необходимости выбора очень мелкого шага А для получения приемлемых результатов.

2. Случай неравномерной сетки.

Часто возникает необходимость использования неравномерной сетки т. е. сетки, у которой шаг

зависит от Положим Заменяя в формулах на соответственно, придем к разностной схеме (15.15), (15.16), в которой

Нетрудно убедиться в том, что при такой аппроксимации справедлив принцип максимума и разностная схема устойчива. Можно показать, что при некоторых дополнительных предположениях она сходится со вторым порядком точности относительно

3. Разности "против потока".

Как отмечалось выше, уравнение (15.43) описывает установившееся распределение температуры в неподвижной среде. В том случае, когда исследуются тепловые процессы в движущейся среде (например, рассматривается поток жидкости), уравнение модифицируется следующим образом:

Здесь величина, пропорциональная скорости потока жидкости.

При дискретизации этого уравнения возникает новый момент, связанный с необходимостью аппроксимации слагаемого Кажется естественным воспользоваться для аппроксимации производной и центральной разностной производной. В результате к разностному оператору (15.48) добавится слагаемое где

Выясним, удовлетворяют ли коэффициенты

соответствующей системы сеточных уравнений условиям (15.23), гарантирующим выполнение принципа максимума. Как нетрудно видеть, неравенства (15.23) выполняются, если

В том случае, когда скорость потока велика, это неравенство приводит к весьма жесткому ограничению на шаг А. Его можно избежать, если использовать односторонние разностные производные. В задачах динамики жидкостей и газов широко используются аппроксимации вида

где Они называются

аппроксимациями "против потока" (или "против ветра"). Такой выбор аппроксимации слагаемого приводит к системе сеточных уравнений с коэффициентами

Легко убедиться в том, что условия (15.23) здесь всегда выполняются. Таким образом, принцип максимума выполняется при любых шагах А. Правда, при использовании приближения (15.50) порядок аппроксимации снижается со второго до первого.

4. Случай разрывных коэффициентов.

Одна из специфических особенностей, присущих многим техническим задачам, заключается в том, что среда, в которой изучаются те или иные процессы, как правило, существенно неоднородна и состоит из материалов с разными физическими свойствами. При математической формулировке таких задач эта особенность проявляется в том, что коэффициенты дифференциальных уравнений становятся разрывными. Это существенно усложняет построение эффективных численных методов.

Предположим, например, что коэффициенты входящие в уравнение (15.43), могут иметь на отрезке конечное число точек разрыва первого рода. Будем предполагать, что всюду за исключением этих точек коэффициенты непрерывны и удовлетворяют условиям к

В этом случае решение краевой задачи (15.43), (15.44) уже нельзя понимать в классическом смысле. Уточним постановку задачи для уравнения с разрывными коэффициентами. Назовем функцию и решением задачи (15.43), (15.44), если:

1) функция и непрерывна на отрезке и удовлетворяет краевым условиям и

2) поток непрерывен на отрезке ;

3) всюду за исключением точек функция непрерывно дифференцируема и удовлетворяет уравнению

Для вывода разностных уравнений воспользуемся методом баланса. Запишем уравнение теплового баланса для отрезка где Для этого проинтегрируем уравнение (15.51) по х от до В результате получим равенство

Воспользовавшись приближенной формулой и разделив обе части равенства (15.52) на получим

Здесь средние значения функций на отрезке

Далее заметим, что

Таким образом,

теплопроводности на отрезке Заметим (это важно!), что усредняется фактически не коэффициент теплопроводности к а обратный к нему коэффициент теплового сопротивления

Перейдем теперь от приближенных равенств (15.53), (15.54) к разностному уравнению

Добавляя к (15.55) уравнения

приходим к разностной схеме (15.55), (15.56).

Замечание. Разностные уравнения (15.55) записываются единообразно во всех внутренних узлах сетки независимо от того,

где расположены точки разрыва коэффициентов дифференциального уравнения. Это означает, что рассматриваемая разностная схема относится к классу однородных разностных схем [70].

5. Аппроксимация краевых условий.

Выше при аппроксимации краевой задачи краевые условия первого рода и и не вызывали каких-либо затруднений и потому основное внимание уделялось аппроксимации дифференциального оператора. Однако краевые условия могут иметь более сложный вид и тогда возникает проблема их аппроксимации.

Рассмотрим, например, краевое условие второго рода

Простейший подход к его аппроксимации состоит в замене производной и разностным отношением . В результате получается разностное краевое условие

Так как

то разностное уравнение (15.58) аппроксимирует краевое условие (15.57) лишь с первым порядком относительно А, что приводит к понижению порядка точности разностной схемы. Порядок аппроксимации краевого условия можно повысить разными способами. Например, можно заметить, что в силу дифференциального уравнения (15.43) при для решения и справедливо равенство

Таким образом,

и мы приходим к разностному краевому условию

аппроксимирующему краевое условие (15.57) со вторым порядком.

Другая аппроксимация второго порядка относительно А получится, если использовать метод баланса. Проинтегрируем уравнение (15.51) по х от до . В результате, учитывая, что получим равенство Отсюда, используя приближенное равенство (15.54), приходим к разностному уравнению

где