2. Правила записи приближенных чисел.

Пусть приближенное число а задано в виде конечной десятичной дроби:

Значащими цифрами числа а называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева.

Пример 2.1. У чисел значащие цифры подчеркнуты. Первое число имеет 3, а второе — 6 значащих цифр.

Значащую цифру числа а называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Пример 2.2. Если то число имеет 4 верные значащие цифры (они подчеркнуты).

Следует отметить, что широко распространенной ошибкой при записи приближенных чисел является отбрасывание последних значащих нулей (даже если они представляют собой верные цифры).

Замечание. Верная цифра приближенного числа, вообще говоря, не обязана совпадать с соответствующей цифрой в записи точного числа. Таким образом, термин "верная цифра" не следует понимать буквально (см. пример 2.3).

Пример 2.3. Пусть Тогда числа а все подчеркнутые цифры — верные, хотя они и не совпадают с соотвествующими цифрами числа а.

Количество верных значащих цифр числа тесно связано с величиной его относительной погрешности. Приведенные ниже утверждения позволяют в дальнейшем связывать точность числа с количеством его верных значащих цифр и трактовать потерю точности как потерю верных цифр.

Предложение 2.1. 1°. Если число а содержит верных значащих цифр, то справедливо неравенство

2°. Для того чтобы число а содержало верных значащих цифр, достаточно, чтобы было выполнено неравенство

3°. Если число а имеет ровно верных значащих цифр, то и таким образом

Пример 2.4. Что можно сказать об относительной погрешности числа а, если оно содержит 3 верные цифры?

В силу утверждения 1° имеем

Пример 2.5. С какой относительной точностью следует найти число а, чтобы верными оказались 6 значащих цифр?

Из утверждения 2° следует, что достаточно найти а с относительной точностью

Заметим, что границы абсолютной и относительной погрешностей принято записывать с одной или двумя значащими цифрами. Большая точность в записи этих величин, как правило, не имеет смысла, так как обычно они являются довольно грубыми оценками истинных значений погрешностей, и кроме того, для практического использования часто бывает достаточно знать только их порядок.

Пример 2.6. Информация о погрешности вида практически равноценна информации причем последняя вызывает больше доверия. Скорее всего, вполне удовлетворительной в данном случае является и запись

Неравенство (2.3) эквивалентно двойному неравенству

и поэтому тот факт, что число а является приближенным значением числа а с верхней границей абсолютной погрешности (с абсолютной точностью принято записывать в виде

Как правило, числа указывают с одинаковым числом цифр после десятичной точки.

Пример 2.7. Пусть для числа а известны приближенное значение

1.648 и граница абсолютной погрешности Тогда можно записать Записи вида или являются неестественными.

Из неравенства (2.4) следует, что значение а заключено примерно между Поэтому тот факт, что число а является приближенным значением числа а с границей относительной погрешности относительной точностью принято записывать в виде

Пример 2.8. Оценим точность часто используемого в простейших расчетах приближения к числу Известно, что поэтому

Следовательно, можно принять Итак,

Замечание. Если число а приводится в качестве результата без указания величины погрешности, то принято считать, что все его значащие цифры являются верными. Начинающий пользователь часто слишком доверяет выводимым из ЭВМ цифрам, предполагая, что вычислительная машина придерживается того же соглашения. Однако это совсем не так: число может быть выведено с таким количеством значащих цифр, сколько потребует программист заданием соответствующего формата. Как правило, среди этих цифр только небольшое число первых окажутся верными, а, возможно, верных цифр нет совсем. Анализировать результаты вычислений и определять степень их достоверности совсем непросто. Одна из целей изучения вычислительных методов и состоит в достижении понимания того, что можно и чего нельзя ожидать от результатов, полученных на ЭВМ.