Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 5.4. Обусловленность задачи решения системы линейных алгебраических уравненийОказывается, что решения различных систем линейных алгебраических уравнений обладают разной чувствительностью к погрешностям входных данных. Так же как и другие задачи (см. § 3.2), задача вычисления решения х системы уравнений
может быть как хорошо, так и плохо обусловленной. Исследование обусловленности задачи начнем со случая, когда элементы матрицы А считаются заданными точно, а вектор-столбец правой части — приближенно. Лемма 5.1. Для погрешности приближенного решения системы (5.18) справедлива оценка
где Для доказательства достаточно взять норму левой и правой частей равенства (5.3) и воспользоваться свойством (5.10). Теорема 5.1. Пусть
где В рассматриваемом случае
приходим к оценке (5.21). Замечание 1. Величина Замечание 3. Полученные в теореме 5.1 оценки точны в том смысле, что для системы Вычислим максимальное значение естественного числа обусловленности, используя определение (5.4) нормы матрицы:
Полученную величину принято называть стандартным числом обусловленности (или просто числом обусловленности матрицы А и обозначать через
Сформулируем важное следствие из теоремы 5.1. Следствие. В условиях теоремы 5.1 справедлива оценка
Для ее доказательства достаточно воспользоваться оценкой (5.21) и заметить, что в силу определения (5.22) верно неравенство Замечание. Оценка (5.24) точна в том смысле, что для системы (5.18) с произвольной невырожденной матрицей А найдутся правая часть Величина Отметим следующие свойства числа обусловленности. 1°. Для единичной матрицы Пользуясь тем, что 2°. Справедливо неравенство Из равенства 3°. Число обусловленности матрицы А не меняется при умножении матрицы на произвольное число Заметим, что Замечание. Пользуясь приведенной в § 5.2 геометрической интерпретацией норм матриц максимального коэффициента растяжения векторов под действием матрицы А к минимальному коэффициенту: Величина Пример 5.4. Вычислим
Сначала найдем обратную матрицу
Тогда Пример 5.5. Рассмотрим систему уравнений
с матрицей (5.25). Ее решением является Можно ли ввести в правую часть системы (5.26) такую погрешность, чтобы получить существенно большее, чем 237, значение коэффициента роста ошибки? Вычислим естественное число обусловленности, являющееся максимальным значением рассматриваемого коэффициента, отвечающим решению
Таким образом, на поставленный вопрос следует ответить отрицательно. Можно дать следующую геометрическую интерпретацию рассмотренного примера. Каждому уравнению системы (5.26) соответствует прямая на плоскости Пример 5.6. Традиционным примером очень плохо обусловленной матрицы является матрица Гильберта — матрица И с элементами Из табл. 5.1, заимствованной из [87], видно, что для матрицы И даже сравнительно невысокого порядка число обусловленности оказывается чрезвычайно большим. Таблица 5.1 (см. скан)
Рис. 5.2 До сих пор мы предполагали, что матрица А задана точно. Однако на практике это часто не так. Как выясняется, введенная выше величина Теорема 5.2. Пусть
В данном случае невязка
Следствие. В условиях теоремы 5.2 справедливо приближенное неравенство
Замечание 1. В случае, когда с погрешностью заданы как правая часть системы, так и матрица (т. е. х является решением системы
Замечание 2. Распространенным является представление о том, что по величине определителя матрицы А можно судить о степени близости системы уравнений к вырожденной или об обусловленности системы. Для того чтобы убедиться в ошибочности этого мнения, умножим каждое из уравнений системы (5.1) на постоянную Замечание 3. Вычисление чисел обусловленности обусловленности с точностью до порядка. С эффективными методами, дающими оценки величин Проверить чувствительность решения системы
|
1 |
Оглавление
|