Глава 13. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

§ 13.1. Простейшие квадратурные формулы

1. Постановка задачи.

В прикладных исследованиях часто возникает необходимость вычисления значения определенного интеграла

Этот интеграл может выражать площадь, объем, работу переменной силы и

Если функция непрерывна на отрезке и ее первообразную удается выразить через известные функции, то для вычисления интеграла (13.1) можно воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница:

К сожалению, в подавляющем большинстве случаев получить значение определенного интеграла с помощью формулы (13.2) или других аналитических методов не удается.

Пример 13.1. Интеграл широко используется при исследовании процессов теплообмена и диффузии, в статистической физике и теории вероятностей. Однако его значение может быть выражено в виде конечной комбинации элементарных функций.

Заметим, что даже в тех случаях, когда удается получить первообразную функцию в аналитической форме, значительные усилия, затраченные на это, часто оказываются чрезмерно высокой платой за окончательный результат. Добавим еще, что вычисления интеграла в этих случаях по формуле (13.2), как правило, приводят к громоздким (а часто — и приближенным) вычислениям. Следует отметить также, что зачастую найти точное значение интеграла (13.1) просто невозможно. Например, это имеет место, когда функция задается таблицей своих значений.

Обычно для вычисления значения определенного интеграла применяют специальные численные методы. Наиболее широко используют на практике квадратурные формулы — приближенные равенства вида

Здесь некоторые точки из отрезка узлы квадратурной формулы; числовые коэффициенты, называемые весами квадратурной формулы; целое число. Сумма которая принимается за приближенное значение интеграла, называется квадратурной суммой Величина называется погрешностью (или остаточным членом) квадратурной формулы.

Будем говорить, что квадратурная формула (13.3) точна для многочленов степени если для любого многочлена степени не выше эта формула дает точное значение интеграла, т.е.

При оценке эффективности квадратурных формул часто исходят из того, что наиболее трудоемкой операцией при вычислении по формуле (13.3) является нахождение значения функции Поэтому среди двух формул, позволяющих вычислить интеграл с заданной точностью более эффективной считается та, в которой используется меньшее число узлов.

Выведем простейшие квадратурные формулы, исходя из наглядных геометрических соображений. Будем интерпретировать интеграл (13.1) как площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции осью абсцисс и прямыми (рис. 13.1, а).

Рис. 13.1.

Рис. 13.2

Разобьем отрезок на элементарные отрезки точками Интеграл I разобьется при этом на сумму элементарных интегралов:

где что соответствует разбиению площади исходной криволинейной трапеции на сумму площадей элементарных криволинейных трапеций (рис. 13.1, б).

Введем обозначения: где середина элементарного отрезка. Для простоты шаг будем считать постоянным.

2. Формула прямоугольников.

Заменим приближенно площадь элементарной криволинейной трапеции площадью прямоугольника, основанием которого является отрезок а высота равна значению (на рис. 13.2, а через обозначена точка с координатами Так мы приходим к элементарной квадратурной формуле прямоугольников:

Производя такую замену для всех элементарных криволинейных трапеций, получаем составную квадратурную формулу прямоугольников?

Эта формула соответствует приближенной замене площади исходной криволинейной трапеции площадью ступенчатой фшуры, изображенной на рис. 13 2. б.

Замечание. Иногда используют формулы

называемые соответственно составными квадратурными формулами левых и правых прямоугольников. Геометрические иллюстрации приведены на рис. 13.3, а и б. В соответствии с этим формулу (13.6) иногда называют составной квадратурной формулой центральных прямоугольников.

3. Формула трапеций.

Соединив отрезком точки на графике функции получим трапецию (рис 13.4, а). Заменим теперь приближенно площадь элементарной криволинейной трапеции площадью построенной фигуры. Тогда получим элементарную квадратурную формулу трапеций:

Пользуясь этой формулой при выводим составную квадратурную формулу трапеций:

Эта формула соответствует приближенной замене площади исходной

(кликните для просмотра скана)

криволинейной трапеции площадью фигуры, ограниченной ломаной линией, проходящей через точки (рис. 13.4, 6).

4. Формула Симпсона.

Если площадь элементарной криволинейной трапеции заменить площадью фигуры, расположенной под параболой, проходящей через точки (рис. 13.5, а), то получим приближенное равенство Здесь интерполяционный многочлен второй степени с узлами Как нетрудно убедиться, верна формула

Ее интегрирование приводит к равенству

Таким образом, выведена элементарная квадратурная формула Симпсона:

Применяя эту формулу на каждом элементарном отрезке, выводим составную квадратурную формулу Симпсона:

Замечание 1. Учитывая геометрическую интерпретацию формулы Симпсона, ее иногда называют формулой парабол. Замечание 2. В случае, когда число элементарных отрезков разбиения четно в формуле Симпсона можно использовать лишь узлы с целыми индексами:

При выводе этой формулы роль элементарного отрезка играет отрезок длины

5. Оценка погрешности.

Оценим погрешность выведенных квадратурных формул в предложении, что подынтегральная функция достаточно гладкая. Как и в предыдущих главах, будем использовать обозначение

Теорема 13.1. Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема на отрезке Тогда для составных квадратурных формул прямоугольников и трапеций справедливы следующие оценки погрешности:

Выведем сначала оценку (13.13). Представим погрешность формулы прямоугольников в виде

Используя формулу Тейлора

где имеем

Так как то Замечая, что , приходим к оценке (13.13).

Для вывода оценки (13.14) воспользуемся тем, что отрезок, соединяющий точки представляет собой график интерполяционного многочлена первой степени Поэтому для элементарной формулы трапеций верно равенство

Используя оценку (11.28) погрешности линейной интерполяции, имеем

Следовательно, для справедлива оценка

Приведем теперь без доказательства теорему об оценке погрешности формулы Симпсона.

Теорема 13.2. Пусть функция имеет на отрезке непрерывную производную четвертою порядка Тогда для формулы Симпсона (13.12) справедлива оценка погрешности

Замечание 1. Оценки (13.13), (13.14) и (13.15) означают, что формулы прямоугольников и трапеций имеют второй порядок точности относительно А, а формула Симпсона — четвертый порядок точности. Из тех же оценок следует, что формулы

прямоугольников и трапеций точны для многочленов первой степени, а формула Симпсона — для многочленов третьей степени Замечание 2. Формулы (13.7) и (13.8) имеют лишь первый порядок точности (абсолютная погрешность каждой из формул не превышает и поэтому для вычисления интегралов на практике они используются крайне редко.

Пример 13.2. Вычислим значение интеграла используя квадратурные формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона с шагом Сначала составим таблицу значений функции

Таблица 13.1 (см. скан)

Производя вычисления по формулам (13 6), (13 10), (13 12), получим

Оценим погрешность каждого из полученных значений, используя неравенства (13.13) — (13.15). Вычислим Как нетрудно видеть Следовательно,

Далее, Поэтому

Таким образом, из вычислений по формуле прямоугольников с учетом погрешности следует, что по формуле трапеций — что по формуле Симпсона — что

6. Случай переменного шага.

Приведем составные квадратурные формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона в случае переменного шага

Вывод этих формул и их геометрический смысл остаются теми же, что и для случая постоянного шага. Теоремы об оценках погрешности также останутся справедливыми, если в неравенствах (13.13) - (13.15) заменить на