§ 12.2. О выводе формул численного дифференцирования

Хотя простейшие формулы численного дифференцирования можно получить сравнительно элементарно, для вывода и анализа таких формул в более сложных случаях необходимо использовать значительно более серьезный математический аппарат. Заметим, что основой для построения различных приближенных формул вычисления производных являются методы теории приближения функций, элементы которой были изложены в предыдущей главе.

Предположим, что в окрестности точки х функция аппроксимируется некоторой другой функцией причем производная в точке х легко вычисляется. Естественно в такой ситуации попытаться воспользоваться приближенной формулой

Наиболее просто этот подход реализуется в случае, когда приближение осуществляется с помощью интерполяции.

1. Формулы численного дифференцирования, основанные на интерполяции алгебраическими многочленами.

Пусть интерполяционный многочлен степени с узлами интерполяции В этом случае формула (12.12) принимает вид

При этом справедлива следующая оценка погрешности формулы (12.13):

Здесь положительные числа,

Замечание 1. Порядок точности формулы (12.13) относительно равен разности между числом узлов интерполяции и порядком вычисляемой производной.

Замечание 2. Если формула (12.13) применяется для вычисления производной в точке, относительно которой узлы таблицы расположены симметрично, и число к четно, то порядок точности формулы повышается на единицу по сравнению с порядком , гарантируемым оценкой (12.14). Таковы, например, формулы (12.6), (12.8), (12.9), (12.11).

Заметим, что (это следует, в частности, из формулы (11.52)). Таким образом, справедлива приближенная формула (она вытекает и из

имеющая по крайней мере первый порядок точности. Ее частными случаями являются следующие формулы:

При выборе в качестве узлов интерполяции значений формула (12.16) превращается в формулу (12.1). При выборе из (12.16) получается формула (12.2), а при формула (12.6). Аналогично из формулы (12.17) получается формула (12.9).

2. Использование таблиц с постоянным шагом.

Наиболее простой вид принимают формулы численного дифференцирования при

использовании таблиц с постоянным шагом. Например, формула (12.15) в этом случае выглядит так:

В тех случаях, когда значение производной необходимо вычислять в крайних для таблицы точках используются односторонние формулы численною дифференцирования Приведем односторонние формулы (их легко получить дифференцированием многочленов Ньютона (11.57) и для вычисления первой производной

имеющие порядок точности.

При из (12.18), (12.19) получаются формулы

имеющие второй порядок точности.

Пример 12.3. Вычисление значений производной функции заданной табл. 12.1, по формулам (12.20), (12.21) дает значения с погрешностями, равными 0.001555 и 0.03128. Для сравнения напомним, что погрешности значений, найденных в примере 12.1 по простейшим формулам (12.1), (12.2) соответственно равны — 0.10700 и 0.25458.

3. Другие подходы.

Применение формулы (12.13) для вычисления производной фактически основано на кусочно-полиномиальной интерполяции. Полученная таким образом производная в точке "стыка" двух соседних многочленов может иметь разрыв. Поэтому, если требуется глобально на отрезке аппроксимировать производную гладкой функцией, то целесообразно использовать сплайны.

Производная сплайна при дефект сплайна) дает гладкую глобальную аппроксимацию для

В случае, когда значения функции сильно "зашумлены" случайными ошибками, полезным может оказаться использование метода наименьших квадратов.