§ 14.3. Использование формулы Тейлора

Один из наиболее простых для понимания подходов к решению задачи Коши основан на использовании формулы Тейлора

Здесь остаточный член формулы Тейлора,

— некоторая точка, принадлежащая отрезку

Отбрасывая остаточный член, получаем приближенное равенство

Если значение решения у в точке t известно, то в силу равенства

значение производной также можно считать известным. Для того чтобы вычислить производные более высокого порядка, входящие в формулу (14.40), продифференцируем равенство (14.41) по используя правило дифференцирования сложной функции. Тогда получим

и т.д. Как нетрудно заметить, выражения для производных усложняются по мере роста порядка k.

Использование приближенной формулы (14.40) приводит к следующему явному одношаговому методу.

Здесь значения получаются в результате

подстановки в формулы (14 42) и (14.43) значений аналогично вычисляются значения при

Локальная погрешность этого метода совпадает с величиной остаточного члена формулы Тейлора, пропорциональной Пользуясь этим, можно доказать, что метод (14.44) сходится и имеет порядок точности, равный

Несмотря на то, что рассматриваемый метод теоретически дает возможность найти решение с любым порядком точности, на практике он применяется довольно редко. Дело в том, что использование формулы (14.14) приводит к необходимости вычисления большого числа частных производных что чаще всего является весьма трудоемкой и нередко аналитически невыполнимой операцией.

Более существенный аргумент против использования метода (14.44) состоит в том, что к настоящему времени разработаны эффективные численные методы решения задачи Коши (например, методы Рунге-Кутты и Адамса), предполагающие необходимость вычисления значений только функции и не использующие ее частные производные. Именно этим методам, реализованным в виде стандартных программ и пакетов прикладных программ, мы и уделим основное внимание в дальнейшем.

Тем не менее для решения некоторых специальных классов задач приведенный выше метод может быть полезен. В частности, он используется при решении некоторых задач небесной механики, в которых вычисление производных не требует существенных дополнительных затрат в силу специальной структуры правых частей.

Пример 14.12. Найдем численное решение задачи Коши

на отрезке [0, 1], используя метод (14.44) при обладающий вторым порядком точности. Как нетрудно проверить, точным решением этой задачи является функция

Дифференцируя уравнение по получим следующее выражение для второй производной, Поэтому расчетная формула (14.44) в данном случае примет вид

Найденное по этой формуле для приближенное решение приведено в табл. 14 1. Для сравнения в ней же приведены значения точного решения.

Таблица 14.2 (см. скан)

Как видно из таблицы, решение оказалось найдено с точностью