§ 7.3. Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений
1. Описание метода.
Обобщим метод Ньютона, изложенный в § 4.6 для решения одного нелинейного уравнения, на решение систем нелинейных уравнений (7.1). При этом будем исходить из трактовки метода Ньютона как метода линеаризации.
Предположим, что исходя из начального приближения
к решению х построены приближения
Заменим в системе (7.1) каждую из функций
линейной частью ее разложения по формуле Тейлора в точке
В результате придем к системе линейных алгебраических уравнений
имеющей в матричной форме записи следующий вид:
Здесь
матрица Якоби (7.3).
Предположим, что матрица
невырожденная, т.е. существует обратная матрица
Тогда система (7.13) имеет единственное решение, которое и принимается за очередное приближение
к решению х. Таким образом, приближение
удовлетворяет равенству
выражая из которого
выводим итерационную формулу метода Ньютона:
Замечание. Формула (7.15) предполагает использование трудоемкой операции обращения матрицы (см. гл. 5), поэтому непосредственное ее использование для вычисления
в большинстве случаев нецелесообразно. Обычно вместо этого решают эквивалентную системе (7.14) систему линейных алгебраических уравнений
относительно поправки
Затем полагают
2. Сходимость метода.
Сформулируем основную теорему о сходимости метода Ньютона.
Теорема 7.3. Пусть в некоторой окрестности решения х системы (7.1) функции
дважды непрерывно дифференцируемы и матрица
невырождена. Тогда найдется такая малая
-окрестность решения х, что при произвольном выборе начального приближения
из этой окрестности итерационная последовательность метода Ньютона не выходит за пределы окрестности и справедлива оценка:
Эта оценка означает, что метод сходится с квадратичной скоростью.
Квадратичная скорость сходимости метода Ньютона позволяет использовать простой практический критерий окончания:
Пример 7.3. Используя метод Ньютона, найдем с точностью
решение
системы (7.4).
Возьмем
и будем вести вычисления по формулам (7.16), (7.17), в которых
Результаты вычислений с шестью знаками мантиссы приведены в табл. 7.2.
Таблица 7.2 (см. скан)