Глава 12. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Численное дифференцирование применяется тогда, когда функцию трудно или невозможно продифференцироать аналитически. Например, необходимость в численном дифференцировании возникает в том случае, когда функция задана таблицей. Кроме того, формулы численного дифференцирования широко используются при разработке вычислительных методов решения многих задач (решение дифференциальных уравнений, поиск решений нелинейных уравнений, поиск точек экстремума функций и др.).

§ 12.1. Простейшие формулы численного дифференцирования

1. Вычисление первой производной.

Предположим, что в окрестности точки х функция дифференцируема достаточное число раз. Исходя из определения производной

естественно попытаться использовать для ее вычисления две простейшие приближенные формулы:

соответствующие выбору фиксированных значений Здесь малый параметр (шаг). Разностные отношения в правых

частях формул (12.1) и (12.2) часто называют правой и левой разностными производными [70]. Для оценки погрешностей

введенных формул численного дифференцирования (погрешностей аппроксимации) воспользуемся формулами Тейлора:

Здесь и ниже и — некоторые точки, расположенные на интервалах соответственно. Подставляя разложения (12.3) в выражения для получаем Следовательно,

Таким образом, формулы (12.1), (12.2) имеют первый порядок точности по А. Иначе говоря, правая и левая разностные производные аппроксимируют производную с первым порядком точности.

Рис. 12.1

Приведенные формулы численного дифференцирования имеют простую геометрическую интерпретацию (рис. 12.1, а). Пусть расположенные на графике функции точки с координатами Напомним, что производная равна тангенсу угла а наклона к оси касательной, проведенной к графику функции в точке Формула (12.1) соответствует приближенной замене производной правой разностной производной равной тангенсу угла наклона к графику функции секущей, проведенной через точки Формула (12.2) соответствует аналогичной замене левой разностной производной тангенсу угла а. секущей, проведенной через точки

Естественно предположить (рис. 12.1, а и 12.1, б), что лучшим по сравнению с приближением к является тангенс угла наклона секущей к графику, проведенной через точки Соответствующая приближенная формула имеет вид

Величину в правой части этой формулы часто называют центральной разностной производной.

Подставляя в выражение для погрешности

соответствующие разложения по формуле Тейлора

получим, . Следовательно, справедлива оценка погрешности

Таким образом, центральная разностная производная аппроксимирует производную со вторым порядком точности относительно А.

Для вычисления можно получить формулы любого порядка точности (см. § 12.2). Однако в таких формулах с ростом порядка точности возрастает и число используемых значений функции. В качестве примера приведем формулу

имеющую четвертый порядок точности.

Пример 12.1. Пусть функция задана на отрезке [0, 1] таблицей значений с шагом :

Таблица 12.1 (см. скан)

Используя формулы численного дифференцирования, найдем значения производной в узлах таблицы.

В точках из приведенных в этом параграфе формул можно воспользоваться лишь формулами (12.1) и (12.2). В остальных точках применим формулу (12.6), имеющую более высокий порядок точности. Вычисления дают следующую таблицу производных:

Таблица 12.2 (см. скан)

Здесь же приведены значения погрешностей которые в данном случае легко вычисляются (ведь ). Как и следовало ожидать, значения погрешности в крайних точках (здесь использовались формулы первого порядка точности) существенно больше, чем во внутренних точках.

Заметим, что значения погрешностей можно было оценить и заранее, используя априорные оценки (12.4), (12.5), (12.7). Например, неравенство (12 4) дает в точке оценку

В точке из неравенства (12.7) следует, что

Для вычисления при можно также применить формулу (12.8) и получить значения с погрешностями, приближенно равными соответственно.

2. Вычисление второй производной.

Наиболее простой и широко применяемой для приближенного вычисления второй производной является следующая формула:

Величину в правой части этого приближенного равенства часто называют второй разностной производной [70]. Подставляя в выражение для погрешности

соответствующие разложения по формуле Тейлора

получим Следовательно,

Таким образом, формула (12.9) имеет второй порядок точности.

Для вычисления можно получить формулы любого порядка точности. Например, формула

имеет четвертый порядок точности.

Пример 12.2. Используя табл. 12.1 значений функции найдем с помощью формул численного дифференцирования значения во внутренних узлах таблицы.

Вычисление по формуле (12.9) дает значения, приведенные в табл. 12.3:

Таблица 12.3 (см. скан)

Применение формулы (12.11) позволяет получить значения и 1.82183 с погрешностями, приближенно равными