3. Представление вещественных чисел.

В большинстве современных ЭВМ для вещественных чисел принята форма представления с плавающей точкой, когда каждое число представляют в виде

Здесь двоичные цифры. Число нормализуется так, чтобы и поэтому в памяти ЭВМ хранятся только значащие цифры. Число называется мантиссой числа х. Количество t цифр, которое отводится для записи мантиссы, называемое разрядностью мантиссы, зависит от конструктивных особенностей конкретной вычислительной машины, но всегда является конечным. В представлении целое цисло, называемое двоичным порядком. Порядок также записывают как двоичное целое число для хранения которого в машинном слове отводится двоичных разрядов. На рис. 2.1 схематически представлена структура машинного слова для хранения вещественного числа.

Рис. 2.1

Поскольку нуль — ненормализуемое число (его нельзя представить в виде (2.26) при для его хранения предусматривают особый способ записи.

Пример 2.16. Представим число в двоичной системе счисления в нормализованной форме с плавающей точкой. Так как (см. пример 2.15), то, перемещая двоичную точку на 5 позиций влево, получаем

На основании имеющихся сведений о представлении чисел в ЭВМ можно сделать ряд важных выводов.

1°. На ЭВМ представимы не все числа, а лишь конечный набор рациональных чисел специального вида. Эти числа образуют представимое множество вычислительной машины. Для всех остальных чисел х возможно лишь их приближенное представление с ошибкой, которую принято называть ошибкой представления (или ошибкой округления). Обычно приближенное представление числа х в ЭВМ обозначают как Если округление производят по дополнению, то граница относительной погрешности представления равна единице первого отброшенного разряда мантиссы, т.е. (порядок числа не влияет на относительную погрешность представления).

Если же округление производят усечением, то Величина ем играет в вычислениях на ЭВМ фундаментальную роль; ее называют относительной точностью ЭВМ, а также машинной точностью (или машинным эпсилон). Всюду в дальнейшем ем — это относительная точность ЭВМ. Заметим, что значение этой величины определяется разрядностью мантиссы и способом округления.

Важно с самого начала иметь четкое представление о том, что почти наверняка в представимом множестве ЭВМ нет числа у, являющегося решением поставленной задачи. Лучшее, что можно попытаться сделать, — это найти его представление с относительной точностью порядка .

Полезно отметить, что среди представимых на ЭВМ чисел нет не только ни одного иррационального (в том числе и таких важных постоянных, как но и даже такого широко используемого в вычислениях числа, как 0.1. Дело в том, что двоичная запись числа 0.1 является бесконечной периодической дробью: Поэтому это число всегда представляется на ЭВМ приближенно, с погрешностью, вызванной необходимостью округления.

2°. Диапазон изменения чисел в ЭВМ ограничен. В самом деле, так как то для мантиссы справедливы оценки то же время для представления в ЭВМ порядка используется конечное число двоичных цифр и поэтому ртах Таким образом, для всех представимых на ЭВМ чисел х (за исключением нуля) имеем где Заметим, что диапазон представления чисел на ЭВМ всецело определяется разрядностью порядка.

3°. Все числа х, по модулю большие не представимы на ЭВМ и могут рассматриваться как машинная бесконечность. Попытка получить такое число приводит к аварийному останову ЭВМ по переполнению. Все числа х, по модулю меньшие для вычислительной машины не различимы и представляются как нуль (машинный нуль). Получение числа х такого, что называют исчезновением порядка (или антипереполнением). Обычно при исчезновении порядка автоматически полагается и вычисления продолжаются.

Замечание. Не следует смешивать машинную точность с минимальным положительным представимым на ЭВМ числом

Это совершенно разные числа, причем

Рис. 2.2

4°. На машинной числовой оси (рис. 2.2) числа расположены неравномерно. Плотность их возрастает по мере приближения к нулю и падает с удалением от нуля. Чтобы убедиться в этом, заметим, что

расстояние от одного представимого на ЭВМ числа х до другого ближайшего представимого равно единице последнего разряда мантиссы, умноженной на равно Так как t фиксировано, то расстояние уменьшается с уменьшением порядка и возрастает с увеличением

Для компьютеров типа IBM PC (при вычислениях на ФОРТРАНЕ) представимые числа расположены в диапазоне вполне достаточном для большинства приложений. Однако разрядность мантиссы невелика в десятичной арифметике это эквивалентно тому, что мантисса содержит 7 десятичных цифр. Заметим, что для большинства ЭВМ, используемых для научно-технических расчетов, мантисса имеет разрядность, эквивалентную 7—14 десятичным разрядам.