§ 14.1. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка

1. Постановка задачи.

Напомним, что решением обыкновенного дифференциальною уравнения первою порядка

называется дифференцируемая функция которая при подстановке в уравнение (14.1) обращает его в тождество. График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой. Процесс нахождения решений дифференциального уравнения принято называть интегрированием этого уравнения.

Исходя из геометрического смысла производной у заметим, что уравнение (14.1) задает в каждой точке плоскости переменных значение тангенса угла а наклона (к оси касательной к графику решения, проходящего через эту точку. Величину далее будем называть угловым коэффициентом (рис. 14.1). Если теперь в каждой точке задать с помощью некоторого вектора направление касательной, определяемое значением то получится так называемое поле

Рис. 14.1

Рис. 14.2

направлений (рис. 14.2, а). Таким образом, геометрически задача интегрирования дифференциальных уравнений состоит в нахождении интегральных кривых, которые в каждой своей точке имеют заданное направление касательной (рис. 14.2, б). Для того, чтобы выделить из семейства решений дифференциального уравнения (14.1) одно конкретное решение, задают начальное условие

Здесь — некоторое фиксированное значение аргумента величина, называемая начальным значением. Геометрическая интерпретация использования начального условия состоит в выборе из семейства интегральных кривых той кривой, которая проходит через фиксированную точку

Задачу нахождения при решения дифференциального уравнения (14.1), удовлетворяющего начальному условию (14.2), будем называть задачей Коши. В некоторых случаях представляет интерес поведение решения при всех Однако чаще ограничиваются определением решения на конечном отрезке

2. Разрешимость задачи Коши.

Пусть множество точек удовлетворяющих условию это множество будем называть полосой.

Приведем одну из теорем о разрешимости задачи Коши. Теорема 14.1. Пусть функция определена и непрерывна в полосе Предположим также, что она удовлетворяет условию Липшица

для всех и произвольных некоторая постоянная (постоянная Липшица).

Тогда для каждою начальною значения существует единственное решение задачи Коши (14.1), (14.2), определенное на отрезке

Замечание 1. Для дифференцируемых по у функций условие (14.3) выполняется тогда и только тогда, когда для всех справедливо неравенство

Поэтому условие (14.4) можно также называть условием Липшица. Замечание 2. Теорема 14.1 остается справедливой, если в ее формулировке условие Липшица (14.3) заменить менее ограничительным односторонним условием Липшица

Подчеркнем, что входящая в это условие постоянная а может иметь произвольный знак.

Для дифференцируемых по у функций условие (14.5) выполняется тогда и только тогда, когда для всех , справедливо неравенство

Ясно, что для функций, удовлетворяющих условию Липшица с постоянной одностороннее условие заведомо выполнено с постоянной

Пример 14.1. Функция удовлетворяет условию Липшица с постоянной так как Отсюда следует, что решение задачи Коши существует и единственно на любом отрезке

Пример 14.2. Функция не удовлетворяет условию Липшица, поскольку и модуль этой величины не ограничен. В то же время одностороннее условие (14.6) выполняется с постоянной Следовательно, можно утверждать, что решение задачи Коши существует и единственно на любом отрезке

Пример 14.3. Функция не удовлетворяет одностороннему условию (14.6), так как частная производная не ограничена сверху.

Поэтому вопрос о разрешимости задачи. Коши требует дополнительного исследования.

Отметим следующий полезный результат, указывающий на зависимость степени гладкости решения задачи Коши от степени гладкости правой части дифференциального уравнения.

Теорема 14.2. Пусть функция непрерывно дифференцируема раз в полосе Тогда если функция у является на отрезке решением задачи Коши (14.1), (14.2), то она непрерывно дифф еренцируема раз на этом отрезке.

Это утверждение непосредственно вытекает из возможности дифференцирования тождества не менее чем раз.

В дальнейшем функции будем предполагать дифференцируемыми столько раз, сколько потребуется при рассмотрении соответствующих численных методов.

3. Устойчивость решения задачи Коши на конечном отрезке.

Этот вопрос весьма важен для понимания особенностей методов численного интегрирования дифференциальных уравнений. Рассмотрим сначала процесс распространения погрешностей, внесенных в начальные значения. Пусть у — возмущенное начальное значение, погрешность, а решение соответствующей задачи Коши

Вычтем из уравнения (14.1) уравнение (14.7) и воспользуемся формулой конечных приращений Лагранжа:

где некоторое промежуточное между и значение. В результате получим, что погрешность удовлетворяет дифференциальному уравнению

и начальному условию

Решение задачи (14.8), (14.9) выражается формулой

Таким образом, величина

играет в задаче Коши роль коэффициента роста ошибки.

Заметим, что знак производной оказывает существенное влияние на поведение погрешности Если то величина а вместе с ней и модуль погрешности монотонно возрастают. При этом соответствующие интегральные кривые расходятся. Иллюстрацией такого поведения погрешности может служить рис. 14.3, а. Иначе ведет себя погрешность в случае Здесь и с ростом t монотонно убывают, а соответствующие интегральные кривые сближаются. Ошибка, внесенная в начальное значение, имеет тенденцию к затуханию (рис. 14.3, б). В случае, когда производная незнакопостоянна, поведение погрешности может быть более сложным.

Рис. 14.3

Важно отметить, что в любом случае выполнение одностороннего условия Липшица (14.5) гарантирует, что коэффициент роста ошибки окажется ограниченным, если задача решается на конечном отрезке В самом деле, в этом случае

и поэтому для всех где

Таким образом, при выполнении условия а справедлива оценка

выражающая устойчивость на конечном отрезке решения задачи Коши по начальным значениям.

4. Модельное уравнение.

Наиболее простым образом ведет себя погрешность в случае, когда решается линейное уравнение

с постоянным коэффициентом А. В этом случае погрешность удовлетворяет уравнению и выражается формулой

Поскольку функция не влияет на характер распространения погрешности, при изучении устойчивости по начальным значениям естественно ограничиться случаем и рассматривать уравнение

Уравнение (14.13) часто называют модельным уравнением. Оно играет важную роль при исследовании свойств численных методов решения задачи Коши.

Как следует из формулы (14.12), модуль погрешности решения уравнения (14.13) изменяется в раз за интервал времени Поэтому величину иногда называют временной постоянной или постоянной времени модельного уравнения (14.13). Если же параметр А является комплексным числом, то временной постоянной называют величину

В случае, когда рассматривается распространение малого возмущения, внесенного в решение уравнения в малой окрестности точки значение коэффициента в уравнении (14.8) оказывается близко к постоянной Поэтому при справедливо приближенное равенство Это означает, что поведение погрешности для уравнения моделирует локальное распространение погрешности для общего уравнения (14.1). Роль временной постоянной играет здесь величина Так как ее значение меняется с изменением точки t то ее называют локальной временной постоянной. Если же функция

может принимать комплексные значения, то формула для имеет вид

5. Устойчивость по правой части.

Будет ли решение задачи Коши устойчивым не только по отношению к погрешности задания начального значения, но и к погрешностям задания правой части уравнения? Положительный ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема 14.3. Пусть выполнены условия теоремы 14.1. Далее, пусть решение задачи (14.1), (14.2), решение задачи

Тогда справедлива оценка

выражающая устойчивость на конечном отрезке решения задачи Коши по начальным значениям и правой части. Здесь

Замечание. Величина играет в задаче Коши роль оценки числа обусловленности. Если в теореме 14.1 условие Липшица (14.3) заменить односторонним условием (14.5), то оценка (14.16) будет выполнена с постоянной определенной формулой (14.10).

6. Устойчивость решения на неограниченном промежутке.

При решении самых разнообразных прикладных задач особый интерес представляет изучение описываемых дифференциальными уравнениями процессов на больших временных отрезках. В такой ситуации недостаточно наличия у задачи Коши свойства устойчивости на конечном отрезке. Если входящая в неравенство (14.16) величина может неограниченно расти с ростом то это означает, что допускается неограниченный при рост погрешностей. Как следствие, при достаточно больших такая задача является плохо обусловленной и найти ее решение на отрезке с приемлемой точностью оказывается невозможно.

Рис. 14.4

Пример 14.4. Рассмотрим задачу Коши Ее решением, как нетрудно проверить, является функция

Внесем в начальное значение погрешность, заменив условие условием Решением соответствующей задачи служит уже функция . Погрешность с ростом t быстро увеличивается и, как видно из рис. 14.4, уже при не очень больших значение становится неприемлемо большим.

Для того чтобы обусловленность задачи Коши не ухудшалась с ростом в силу замечания 1 к теореме 14.3 достаточно потребовать, чтобы правая часть уравнения удовлетворяла неравенству для всех и произвольных у. Более того, можно доказать, что при выполнении условия справедлива следующая оценка:

Предположим, что на каждом отрезке произвольное) неравенство (14.6) выполнено с некоторой постоянной Тогда решение определено для всех Пусть решение уравнения (14.7), отвечающее произвольному начальному значению у. Назовем решение задачи Коши (14.1), (14.2) устойчивым по Ляпунову, если справедлива оценка где постоянная К не зависит от Если дополнительно известно, что при то решение называется асимптотически устойчивым.

Замечание 1. Решения модельного уравнения (14.13) с вещественным параметром А устойчивы по Ляпунову тогда и только

тогда, когда и асимптотически устойчивы тогда и только тогда, когда Этот вывод легко следует из формулы (14.12). Если же параметр комплексное число, то из той же формулы следует, что Поэтому решения модельного уравнения устойчивы по Ляпунову тогда и только тогда, когда , и асимптотически устойчивы тогда и только тогда, когда

Замечание 2. Для решения задачи Коши (14.1), (14.2) (как вытекает из неравенства (14.11) и формулы грубым достаточным условием устойчивости по Ляпунову служит выполнение неравенства 4 0. Следствием выполнения условия с постоянной является асимптотическая устойчивость решения.