§ 2.3. Погрешности арифметических операций над приближенными числами

Исследуем влияние погрешностей исходных данных на погрешность результатов арифметических операций. Пусть приближенные значения чисел Какова соответствующая им величина неустранимой погрешности результата?

Предложение 2.2. Абсолютная погрешность алгебраической суммы (суммы или разности) не превосходит суммы абсолютных погрешностей слагаемых, т.е.

Имеем

Следствие. силу неравенства (2.8) естественно положить

Оценим относительную погрешность алгебраической суммы.

Предложение 2.3. Пусть ненулевые числа одною знака. Тогда справедливы неравенства

где

Используя формулу (2.2) и неравенство (2.8), имеем

Из полученного неравенства сразу следуют оценки (2.10).

Следствие. В силу неравенств (2.10) естественно положить

где

Первое из равенств (2.11) означает, что при суммировании чисел одного знака не происходит потери точности, если оценивать точность в относительных единицах. Совсем иначе обстоит дело при вычитании чисел одного знака. Здесь граница относительной ошибки возрастает в раз и возможна существенная потеря точности. Если числа близки настолько, что то и не исключена полная или почти полная потеря точности. Когда это происходит, говорят о том, что произошла катастрофическая потеря точности.

Пример 2.11. Пусть решается инженерная задача, в которой окончательный результат у вычисляется по формуле с помощью предварительно определяемого значения х. Предположим, что найденное приближение к значению х содержит 6 верных значащих цифр. Тогда и в процессе вычисления оказались потерянными 5 верных цифр. Если же учесть, что то следует признать, что произошла катастрофическая потеря точности.

Подчеркнем, что здесь виновником "катастрофы" является не операция вычитания, а предложенный метод решения задачи, где окончательный результат получается с помощью вычитания двух близких чисел. Выполнение этой операции лишь делает очевидным то, что действительно полезная информации о значении у уже оказалась потерянной до вычитания. Если нет другого варианта расчета, то для получения приемлемого результата следовало бы предварительно вычислить х с существенно большим числом верных знаков, учитывая, что 5 старших значащих цифр при вычитании будут потеряны.

Итак, получаем следующий важный вывод. При построении численного метода решения задачи следует избегать вычитания близких чисел одного знака. Если же такое вычитание неизбежно, то следует вычислять аргументы с повышенной точностью, учитывая ее потерю примерно раз.

Предложение 2.4. Для относительных погрешностей произведения и частного приближенных чисел верны оценки

в последней из которых считается, что Выполним следующие преобразования:

т. е.

Разделив обе части этого неравенства на получаем оценку (2.12).

Для вывода второй оценки предварительно заметим, что Тогда

Следствие. Если то для оценки границ относительных погрешностей можно использовать следующие приближенные равенства:

Именно равенства (2.14) чаще всего и используют для практической оценки погрешности.

Итак, выполнение арифметических операций над приближенными числами, как правило, сопровождается потерей точности. Единственная операция, при которой потеря не происходит, — это сложение чисел одного знака. Наибольшая потеря точности может произойти при вычитании близких чисел одного знака.