§ 14.4. Метод Эйлера

1. Геометрическая интерпретация метода Эйлера.

Простейшим и исторически первым численным методом решения задачи Коши является метод Эйлера. Его можно получить, если в приближенном равенстве (14.44) оставить только два первых слагаемых (т.е. взять Тогда формула (14.44) примет вид

Геометрическая интерпретация одного шага метода Эйлера заключается в аппроксимации решения на отрезке касательной проведенной в точке к интегральной кривой, проходящей через эту точку (рис. 14.7).

Таким образом, после выполнения шагов неизвестная интегральная кривая заменяется ломаной линией (ломаной Эйлера), для которой угловой коэффициент очередного звена равен значению (рис. 14.8).

Рис. 14.7

Рис. 14.8

Как уже было отмечено в § 14.2, метод Эйлера представляет явный одношаговый метод. Для него погрешность аппроксимации имеет вид

2. Устойчивость.

Докажем, что метод Эйлера устойчив на конечном отрезке (см. определение устойчивости в § 14.2). Предварительно установим справедливость следующего воспомогательного утверждения.

Ленка 14.1.. Пусть неотрицательная сеточная функция, удовлетворяющая для всех неравенству где Тогда при всех справедлива оценка

Справедливость неравенства (14.47) установим методом индукции. При оно превращается в очевидное:

Пусть теперь неравенство (14.47) выполнено при некотором Тогда, используя оценки получим следующую цепочку неравенств:

т.е. неравенство (14.47) верно и при Итак, оно верно при всех

Пусть теперь решение возмущенной дискретной задачи Коши

Теорема 14.5. Пусть функция удовлетворяет условию Тогда справедливо неравенство

означающее, что метод Эйлера устойчив на конечном отрезке.

Вычитая из уравнения (14.48) уравнение (14.46) и пользуясь формулой конечных приращений Лагранжа

получаем равенство

откуда следует

Заметим теперь, что для в силу (14.51) справедливо неравенство Согласно лемме 14.1, имеем Учитывая, что приходим к неравенству (14.50).

3. Оценка погрешности.

Так как метод Эйлера устойчив на конечном отрезке и имеет первый порядок аппроксимации (см. пример 14.9), то из теоремы 14.4 следует, что он сходится с первым порядком точности. Точнее, верна следующая теорема.

Теорема 14.6. Пусть функция удовлетворяет условию Тогда для метода Эйлера справедлива такая оценка глобальной погрешности:

где

Приведем доказательство теоремы, не использующее теорему Пусть погрешность аппроксимации. Перепишем ее определение (14.33) в виде

Полагая замечаем, что сеточная функция является решением дискретной задачи Коши (14.48), (14.49), где Тогда в силу теоремы 14.5 справедлива оценка

Учитывая, что и используя оценку (14.34) для погрешности аппроксимации, получим неравенство (14.52).

Пример 14.13. Найдем численное решение задачи Коши на отрезке [0, 1], используя метод Эйлера. Заметим, что та же задача другим методом была решена в примере 14.12.

В данном случае расчетная формула (14.46) принимает вид

Полученные с помощью этой формулы для значений шагов приближенные решения приведены в табл. 14.2. Для сравнения в последнем столбце даны значения точного решения Нижняя строка таблицы содержит значения абсолютной погрешности Как и следовало ожидать, при уменьшении шага в 10 раз погрешность уменьшается также примерно в 10 раз.

Таблица 14.2 (см. скан)

Продолжение табл. 14-2 (см. скан)

4. Влияние вычислительной погрешности.

Оценивая метод Эйлера необходимо учитывать, что при его реализации на ЭВМ неизбежно возникнут ошибки округления. В результате фактически вычисляемые значения у будут удовлетворять соотношению

Величины учитывают вклад погрешностей округления. Это соотношение можно рассматривать как возмущенное уравнение вида (14.48), в котором Тогда неравенство (14.50) дает следующую оценку влияния погрешностей округления:

Здесь 6 — некоторое среднее значение величины

Таким образом, с учетом неравенств (14.52) и (14.54) получается следующая оценка погрешности фактически вычисляемых значений

Схематически график функции приведен на рис. 14.9.

Оказывается, что полная погрешность убывает только лишь при уменьшении шага до некоторого значения Достижимая точность метода ограничена снизу величиной и попытка увеличить точность за счет уменьшения шага при приводит лишь к резкому росту погрешности.

Рис. 14.9

Рис. 14.10

Значение как правило, бывает очень трудно определить заранее. Однако если очень высокая точность не нужна, то необходимый для ее достижения шаг обычно бывает много больше

Если же требуется высокая точность решения, то достичь ее с помощью метода Эйлера нельзя, даже если пойти на значительные затраты машинного времени (неизбежные при расчете с малым значением шага ). Необходимо иметь в своем распоряжении методы, имеющие более высокий порядок точности и позволяющие вести расчет со сравнительно крупным шагом