§ 11.4. Погрешность интерполяции

Приведем без доказательства наиболее известную теорему о погрешности интерполяции.

Теорема 11.4. Пусть функция дифференцируема раз на отрезке содержащем узлы интерполяции Тогда для погрешности интерполяции в точке справедливо равенство

в котором некоторая точка, принадлежащая интервалу

Основное неудобство в использовании этой теоремы состоит в том, что входящая в формулу (11.25) для погрешности точка неизвестна. Поэтому чаще используется не сама теорема, а ее следствие.

Следствие. В условиях теоремы 11.4 справедлива оценка погрешности интерполяции в точке имеющая вид

а также оценка максимума модуля погрешности интерполяции на отрезке имеющая вид

Здесь

Пример 11.4. Оценим погрешность приближений к полученных в примере 11.3 с помощью интерполяции многочленами первой и второй степени. В этих случаях неравенство (11.26) примет вид

Заметим, что для имеем Поэтому здесь и 1.5. Тогда в силу неравенств (11.28) и (11.29) получаем следующие оценки погрешности:

Если на отрезке производная меняется слабо, то величина абсолютной погрешности почти полностью определяется значением функции Представление о типичном характере поведения этой функции можно получить из рис. 11.2.

Обратим внимание на то, что при выходе аргумента х за пределы отрезка наблюдения значение быстро становится очень большим. Это объясняет ненадежность экстраполяции функции для значений аргумента, удаленных от отрезка наблюдения.

Пусть теперь и пусть шаг таблицы, Несколько огрубляя оценку (11.27), можно получить следующее неравенство:

Рис. 11.2

Оно позволяет утверждать, что для достаточно гладкой функции при фиксированной степени интерполяционного многочлена погрешность интерполяции на отрезке при стремится к нулю не медленнее, чем некоторая величина, пропорциональная Этот факт принято формулировать так: интерполяция многочленом степени имеет порядок точности относительно . В частности, линейная и квадратичная интерполяции имеют второй и третий порядки точности соответственно.