§ 11.14. Равномерное приближение функций

1. Задача о наилучшем равномерном приближения.

Пусть заданная на отрезке непрерывная функция. Будем говорить, что многочлен приближает функцию равномерно на отрезке с точностью если Таким образом, величина играет здесь роль погрешности приближения.

Естественно поставить следующую задачу: среди всех многочленов фиксированной степени найти многочлен для которого величина погрешности равномерного приближения минимальна, т. е. для любого многочлена степени Поставленная задача называется задачей о наилучшем равномерном приближении, а искомый многочлен многочленом наилучшею равномерною приближения. Справедливо следующее утверждение.

Теорема 11.14. Для любой непрерывной на отрезке функции многочлен наилучшего равномерного приближения степени существует и единствен.

Пример 11.17. Покажем, что многочленом наилучшего равномерного приближения нулевой степени для функции на отрезке [0, 1] является Заметим, что (рис. 11.12, а) и этот максимум достигается в точках Для любого другого многочлена а, где значение В самом деле, если

то Если же то

Рис. 11.12

Приведем без доказательства один из наиболее известных результатов о многочленах наилучшего равномерного приближения.

Теорема 11.15 (теорема Чебышева). Для того чтобы многочлен был многочленом май лучшего равномерного приближения непрерывной на отрезке функции необходимо и достаточно, чтобы на отрезке нашлись по крайней мере точки такие, что

Здесь а — постоянная, равная 1 или -1 для всех t одновременно.

Точки удовлетворяющие условиям теоремы, принято называть точками чебышевскою альтернанса. Равенство (11.118) накладывает на точки чебышевского альтернанса два требования:

1) в точках х, модуль погрешности приближения функции многочленом достигает максимума:

2) для всех погрешность меняе» знак при переходе от точки х, к следующей точке

Пример 11.18. В примере 11.17 точками чебышевского альтернанса являются точки (число точек равно двум, так как . В самом деле, в этих точках достигается максимум модуля погрешности, а сама погрешность меняет знак при переходе от

Пример 11.19. Найдем многочлен наилучшего равномерного приближения первой степени для функции на отрезке [0, 1].

В рассматриваемом случае и должны быть по крайней мере три точки чебышевского альтернанса. В частности, это означает, что графики функций должны пересекаться хотя бы дважды (рис. 11.12, 6). Функция вогнута и потому может иметь на отрезке [0, 1] лишь одну внутреннюю точку экстремума Следовательно, две из точек чебышевского альтернанса совпадают с концами отрезка: . В точке функция удовлетворяет необходимому условию экстремума что эквивалентно уравнению

С учетом равенств условие перемены знака эквивалентно двум уравнениям

Из уравнения (11.121) сразу находим, что Затем из уравнения (11.119) определяем, что Наконец, из (11.120) получаем

Таким образом, многочлен наилучшего равномерного приближения первой степени, аппроксимирующий функцию с погрешностью

2. Задача о понижении степени многочлена.

Пусть атхя многочлен степени значения которого вычисляются на стандартном отрезке (напомним, что к стандартному отрезку можно перейти от произвольного отрезка линейной заменой переменных). Поставим следующую задачу о понижении степени многочлена: аппроксимировать на отрезке многочленом наилучшего равномерного приближения на единицу меньшей степени.

Заметим, что многочлен степени со старшим коэффициентом, равным старшему коэффициенту многочлена Поставленную задачу можно иначе сформулировать так: среди всех многочленов степени с фиксированным старшим

коэффициентом найти многочлен для которого величина минимальна. Как известно (см. § 11.6), решение этой задачи дает многочлен и для него Таким образом, решением поставленной задачи является многочлен

Соответствующая погрешность приближения равна

Замечание. Тривиальный способ понижения степени многочлена отбрасывание старшего слагаемого атхт дает погрешность, равную т. е. в раз большую, чем приближение многочленом (11.122).

3. Нахождение многочленов, близких к наилучшим.

В большинстве реальных случаев задача о наилучшем равномерном приближении непрерывной функции является очень трудной Для ее решения развиты специальные численные методы, реализованные в виде стандартных программ. Заметим, однако, что во многих ситуациях достаточно ограничиться нахождением многочлена, близкого к наилучшему, либо просто найти многочлен, равномерно приближающий функцию с заданной точностью Укажем на два случая, когда возможно нахождение многочленов, близких к наилучшим.

1°. Пусть производная функции слабо меняется на отрезке Тогда интерполяционный многочлен с чебышевскими узлами (11.43) близок к многочлену наилучшего равномерного приближения.

2°. Пусть функция задана на отрезке равномерно сходящимся степенным рядом (рядом Тейлора):

Требуется найти многочлен минимальной степени, равномерно приближающий функцию на отрезке с заданной точностью

Излагаемый ниже метод решения этой задачи часто называют жономизацией степенных рядов. Сначала берут отрезок ряда Тейлора аппроксимирующий функцию с точностью Далее степень многочлена последовательно понижают. Если

погрешность понижения степени такова, что то многочлен заменяют многочленом Если погрешность что то снова понижают степень многочлена по формуле Процесс прерывают тогда, когда вычисление очередного дает В этом случае полагают

Пример 11.20. Найдем многочлен минимальной степени, аппроксимирующий функцию на отрезке с точностью

Ряд знакопеременный, а его слагаемые убывают по модулю. Поэтому погрешность приближения функции отрезком ряда Тейлора оценивается величиной —хтт. равной максимуму модуля первого отброшенного слагаемого. Выбор дает значение гхтт и Следовательно, многочлен ахтроксимирует функцию с точностью

Понижение степени многочлена будет сопровождаться дополнительной погрешностью Следовательно, после понижения степени по формуле

получим многочлен

дающий приближение к на отрезке с точностью

Так как то дальнейшее понижение степени невозможно и решением задачи является многочлен (11.124).