§ 11.15. Дробно-рациональные аппроксимации и вычисление элементарных функций

При создании стандартных программ вычисления элементарных и специальных функций специалистами по математическому обеспечению ЭВМ применяются разнообразные приемы, требующие глубоких профессиональных знаний. Используемые вычислительные методы не являются здесь машинно-независимыми, а, наоборот, существенно учитывают разрядность мантиссы, скорость выполнения арифметических операций и другие особенности конкретной ЭВМ. Отметим, что к указанным стандартным программам обычно предъявляется требование обеспечения относительной точности результата порядка машинного эпсилон ем.

Использование богатой дополнительной информации об аналитических свойствах элементарных и специальных функций позволяет значительно уменьшить объем вычислений. Существенно используется возможность представления вычисляемых функций сходящимися степенными рядами вида

Здесь точка, в которой осуществляется разложение функции в ряд. Отметим, однако, что вопреки распространенному мнению такие ряды непосредственно практически никогда не используются для вычисления функций.

Широко применяемым в настоящее время способом представления функций является приближение их рациональными дробями вида

К дробно-рациональным аппроксимациям приходят различными путями. В ряде случаев используется рациональная интерполяция — интерполяция функции рациональной дробью (11.126). Тогда коэффициенты находятся из совокупности соотношений которые можно записать в следующем виде:

Эти соотношения образуют систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных. Такие системы всегда имеют

нетривиальные решения. Можно записать и в явном виде, если использовать аппарат обратных разделенных разностей [9].

Один из возможных путей состоит в использовании теории цепных (или непрерывных) дробей. Например, функция представляется цепной дробью

Обрывая такую бесконечную дробь, получают некоторую конечную дробь, аппроксимирующую функцию.

Все более популярным в последние годы способом приближения аналитических функций становится аппроксимация Паде — такая дробно-рациональная аппроксимация (11.126), для которой

Равенство (11.127) означает, что коэффициенты дроби (11.126) подбираются так, чтобы в разложении ее в ряд Тейлора первые слагаемых в точности совпадали с соответствующими слагаемыми ряда (11.125).

В качестве примера приведем две аппроксимации Паде функции в случаях

Отметим, что при аппроксимация (11.128) обеспечивает точность

В заключение параграфа рассмотрим, как вычисляется в одной из стандартных программ функция Аргумент х представляют в виде где двоичный порядок, мантисса, Затем используют разложение

Заметим, что Ряд заменяют затем на отрезке многочленом, близким к многочлену

четвертой степени наилучшего равномерного приближения. В результате получается формула

погрешность которой для всех не превышает