Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 4.4. Метод простой итерации1. Описание метода.Чтобы применить метод простой итерации для решения нелинейного уравнения (4.1), необходимо преобразовать это уравнение к следующему виду:
Это преобразование (приведение уравнения к виду, удобному для итерации) можно выполнить различными способами; некоторые из них будут указаны ниже. Функцию Выберем каким-либо образом приближенное значение корня
Очевидно, что метод простой итерации — одношаговый (см. § 4.1). Если существует предел построенной последовательности
Это значит, что 2. Геометрическая иллюстрация.Из рис. 4.6 видно, что корень х уравнения (4.15) является абсциссой точки пересечения графиков двух функций: 3. Сходимость метода.На рис. 4.7, а-г представлена геометрическая иллюстрация поведения итерационного процесса в четырех простейших случаях взаимного расположения прямой
Рис. 4.6
Рис. 4.7 В случаях (в) и (б) метод простой итерации сходится, причем, как нетрудно заметить, — при произвольном начальном приближении. Напротив, в случаях (в) и (как видно из рисунка, модуль тангенса угла наклона кривой Теорема 4.2. Пусть в некоторой
где Тогда независимо от выбора начального приближения
Вычитая из равенства (4.16) равенство (4.17) и используя формулу конечных приращений Лагранжа, получим
Здесь
Это означает, что метод простой итерации обладает линейной скоростью сходимости и поэтому доказательство теоремы завершается применением леммы 4.1. Оценка погрешности (4.19) является априорной. Она показывает, что метод простой итерации сходится со скоростью геометрической прогрессии, знаменатель которой равен Неравенство (4.19), как правило, не используется для практической оценки погрешности. Одна из причин этого состоит в том, что значение х, входящее в правую часть оценки, неизвестно. Кроме того, использование неравенства (4.19) приводит к существенно завышенной оценке погрешности. 4. Критерий окончания.Выведем апостериорную оценку погрешности, пригодную для практического применения. Теорема 4.3. Пусть выполнены условия теоремы
В силу равенства (4.20) имеем
Отсюда
Взяв модуль от левой и правой частей этого равенства и воспользовавшись неравенством Если величина
Если это условие выполнено, то можно считать, что Пример 4.5. Используем метод простой итерации для вычисления положительного корня х уравнения Преобразуем уравнение к виду (4.15), где Таблица 4.3 (см. скан) Критерий окончания выполняется при Замечание. Часто в практике вычислений вместо критерия (4.23) используется привлекательный своей простотой критерий
В случае
Рис. 4.8 В то же время в случае Пример 4.6. Пусть метод простой итерации используется для решения уравнения вычисления, получим Использование критерия (4.23) предполагает знание величины Исключим из критерия окончания итераций величину
где
5. Дополнительные сведения о характере сходимости.В случае, когда производная Теорема 4.4. Пусть произвольное начальное приближение и в случае Тогда итерационная последовательность не выходит за пределы отрезка Кроме того, справедливы следующие свойства: 1°. Если 2°. Если
и справедлив критерий (4.24) окончания итерационного процесса. Мы не будем приводить здесь полное доказательство теоремы. Оно основано на использовании равенства (4.20), установленного при доказательстве теоремы 4.2. Докажем только справедливость свойств 1° и 2°. Если Замечание. Монотонный и колебательный характер сходимости итерационной последовательности, указанные в теореме 4.4, иллюстрируют соответственно рис. 4.7, а и 4.7, б. 6. Приведение уравнения к виду, удобному для итераций.Ключевой момент в применении метода простой итерации — эквивалентное преобразование уравнения (4.1) к виду (4.15). Конечно, такое преобразование имеет смысл только тогда, когда оказывается выполненным условие (4.18) при Предположим, что производная
где Заметим, что Если же известно только Замечание. Случай, когда производная Пример 4.7. Для решения задачи, поставленной в примере 4.5, можно воспользоваться преобразованием уравнения (4.4) к виду (4.26). Будем считать известным, что
|
1 |
Оглавление
|