§ 4.3. Метод бисекции

1. Описание метода.

Пусть требуется с заданной точностью найти корень уравнения (4.1). Отрезок локализации (т. е. отрезок, содержащий только один корень будем считать заданным. Предположим, что функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, т. е.

рис. 4.5 изображен случай, когда

Для дальнейшего будет удобно обозначить отрезок через Примем за приближенное значение корня середину отрезка — точку Так как положение корня х на отрезке неизвестно, то можно лишь утверждать, что погрешность этого приближения не превышает половины длины отрезка (рис. 4.5):

Рис. 4.5

Уменьшить погрешность приближения можно, уточняя отрезок локализации, т. е. заменяя начальный отрезок отрезком меньшей длины. Согласно методу бисекции (половинного деления) в качестве берут тот из отрезков на концах которого выполняется условие Этот отрезок содержит искомый корень. Действительно, если то наличие корня следует из теоремы 4.1; если же то корнем является один из концов отрезка. Середина полученного отрезка дает теперь приближение к корню, оценка погрешности которого составляет

За очередное уточнение отрезка локализации снова берут тот из отрезков на концах которого выполняется условие

Опишем очередную итерацию метода. Пусть отрезок уже найден и вычислены значения Тогда производят следующие действия:

1°. Вычисляется

2°. Если то в качестве отрезка локализации принимается отрезок . В противном случае и за принимается отрезок

3°. Вычисляется

Неограниченное продолжение итерационного процесса дает последовательность отрезков содержащих искомый корень. Каждый из них (за исключением начального) получен делением пополам предыдущего отрезка.

2. Скорость сходимости.

Середина отрезка — точка дает приближение к корню х, имеющее оценку погрешности

Из этой оценки видно, что метод бисекции сходится со скоростью геометрической прогрессии, знаменатель которой По сравнению с другими методами метод бисекции сходится довольно медленно. Однако он очень прост и весьма непритязателен; для его применения достаточно, чтобы выполнялось неравенство (4.13), функция была непрерывна и верно определялся ее знак. В тех ситуациях, где не нужна сверхвысокая скорость сходимости (а это часто имеет место при простых инженерных расчетах), этот метод весьма привлекателен.

Заметим, что число итераций, которое требуется при применении метода бисекции для достижения разумной точности не может быть очень большим. Например, для уменьшения первоначального отрезка локализации в 106 раз нужно 19 итераций.

3. Критерий окончания.

Итерации следует вести до тех пор, пока не будет выполнено неравенство При его выполнении в силу оценки (4.14) можно принять за приближение к корню с точностью

Пример 4.4. Найдем методом бисекции с точностью положительный корень уравнения

В примере 4.2 этот корень был локализован на отрезке [0, 1], причем Положим

I итерация. Вычисляем . Так как то за очередной отрезок локализации принимаем Вычисляем .

II итерация. Вычисляем . Так как то и

Результаты следующих итераций (с четырьмя цифрами после десятичной точки) приведены в табл. 4.2.

Таблица 4.2 (см. скан)

При имеем Следовательно, заданная точность достигнута и можно принять Окончательно получим

4. Влияние вычислительной погрешности.

При использовании метода бисекции принципиально важным является правильное определение знака функции . В случае, когда попадает в интервал неопределенности корня (см. § 4.2), знак вычисленного значения не обязан быть верным, и последующие итерации не имеют смысла. Однако этот метод следует признать очень надежным; он гарантирует точность приближения, примерно равную радиусу интервала неопределенности Как было отмечено в предыдущем параграфе, большего требовать нельзя.