Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
§ 7.2. Метод простой итерации
1. Описание метода.
Предположим, что требуется найти решение
системы (7.1) с заданной точностью
Преобразуем систему (7.1) к следующему эквивалентному виду (к виду, удобному для итераций):
Если ввести вектор-функцию
то система (7.5) запишется так:
Пусть начальное приближение
задано.
Подставляя его в правую часть системы (7.6), получим
Подставляя
в правую часть (7.6), найдем
и т.д. Продолжая вычисления по формулам
получим последовательность
приближений к решению х.
Запись (7.7) означает, что очередное приближение
вычисляется через предыдущее приближение
следующим образом:
Отметим существенную аналогию с методами простой итерации для решения одного нелинейного уравнения (см. гл. 4) и системы линейных алгебраических уравнений (см. гл. 6).
2. Сходимость метода.
Пусть
матрица Якоби, отвечающая вектор-функции
(см. § 7.1). Сформулируем теорему о сходимости метода простых итераций, являющуюся аналогом теорем 4.2 и 6.1.
Теорема 7.1. Пусть в некоторой
-окрестности решения х функции
дифференцируемы и выполнено неравенство
где
постоянная.
Тогда независимо от выбора начального приближения
из указанной
-окрестности корня итерационная последовательность не выходит из этой окрестности, метод сходится со скоростью геометрической прогрессии и справедлива следующая оценка погрешности:
Замечание 1. Условие (7.8), грубо говоря, означает, что в окрестности решения производные
для всех
должны быть "достаточно малы по модулю". Иными словами, систему (7.1) следует преобразовать к такому виду (7.5), чтобы функции
слабо менялись при изменении аргументов, т.е. были "почти постоянными". Каких-либо общих рецептов, как это следует делать, в общем случае нет.
Замечание 2. В условиях теоремы 7.1 верна апостериорная оценка погрешности
которая удобна для формулирования критерия окончания итераций, если известна величина
Однако найти значение
удовлетворяющее неравенству (7.8) для всех из некоторой
-окрестности корня, далеко не просто. В ряде случаев при наличии достаточно хорошего начального приближения
можно, считая, что
использовать следующий практический критерий окончания итерационного процесса:
Пример 7.3. Используя метод простой итерации, найдем с точностью
решение
системы (7.4).
Приведем систему к виду, удобному для итераций:
Здесь
Проверим выполнение условия сходимости вблизи точки С. Вычислим матрицу Якоби
Так как
и
, то для
и имеем
Тогда
Следовательно, метод простой итерации
будет сходиться со скоростью геометрической прогрессии, знаменатель которой примерно равен 0.815, если начальные приближения брать в достаточно малой окрестности решения.
Возьмем
и будем вести итерации по формулам (7.11), используя критерий окончания (7.10), в котором
Результаты вычислений с шестью знаками мантиссы приведены в табл. 7.1.
Таблица 7.1 (см. скан)
При
критерий окончания выполняется и можно положить
Более общий вариант метода Зейделя состоит в следующем: -я компонента решения на
итерации метода определяется как решение нелинейного уравнения
Преимущества этого подхода состоят в возможности использования методов решения уравнений с одним известным и в отсутствии необходимости приведения системы уравнений к виду, удобному для итераций. Указанный метод сходится, если для матрицы Якоби
выполнены условия диагонального преобладания.
Иногда существенный выигрыш дает использование метода, являющегося аналогом метода релаксации (см. § 6.3). В нем после вычисления очередной
компоненты
приближения по формуле метода Зейделя
приближение
вычисляют по формуле