§ 14.2. Численные методы решения задачи Коши. Основные понятия и определения

1. Сетки и сеточные функции.

Первый этап на пути построения численного метода решения задачи Коши состоит в замене отрезка области непрерывного изменения аргумента множеством которое состоит из конечного числа точек и называется сеткой. Сами точки называются узла - сетки, а величина - шагом сетки (рис. 14.5). Для того чтобы упростить изложение, будем рассматривать, как правило, равномерные сетки, т.е. такие сетки, для которых шаг постоянен. В этом случае

Рис. 14.5.

Наряду с функциями непрерывного аргумента будем рассматривать и сеточные функции, т.е. такие функции, которые определены лишь в узлах сетки Для того чтобы отличать сеточные функции от функций непрерывного аргумента, будем помечать их индексом Так, например сеточная функция. Для краткости записи значения сеточной функции в узлах сетки будем обозначать через

2. Дискретная задача Коши.

Следующий этап в построении численного метода состоит в замене задачи Коши ее дискретным аналогом системой уравнений, решая которую можно последовательно найти значения сеточной функции играющие роль приближений к значениям решения задачи Коши в узлах сетки

В основе построения конкретного численного метода лежит тот или иной способ замены дифференциального уравнения его дискретным аналогом - уравнением вида

в которое входят значения сеточной фунции последовательных точках Предполагается, что Во всех рассматриваемых в этой главе методах сумму

стоящую в левой части уравнения (14.18), можно рассматривать как разностную аппроксимацию производной у в соответствии с одной из формул численного дифференцирования (см. гл. 12). Правую часть уравнения (14.18) можно рассматривать как специальным образом построенную аппроксимацию функции

Значение приближенного решения в очередной точке находится из уравнения (14.18). При этом используются найденные ранее значения сеточной функции предыдущих точках Поэтому такие методы получили название k-шаговых. Как нетрудно видеть, для того чтобы найти значения сеточной функции во всех узлах сетки используя -шаговый метод, необходимо задать к начальных значений:

Задачу вычисления сеточной функции удовлетворяющей уравнению (14.18) для всех и принимающей заданные начальные значения (14.20), будем называть дискретной задачей Коши.

Замечание. Принято считать, что уравнением (14.18) задается численный метод решения задачи Коши. Далее мы будем отождествлять свойства численного метода, дискретного уравнения (14.18) и соответствующей дискретной задачи Коши.

При уравнение (14.18) упрощается и принимает вид

Соответствующий метод принято называть одношаювым. Вычисление значения осуществляется здесь с использованием только одного предыдущего значения Поэтому одношаговые методы часто называют самостартующими.

Пример 14.5. Простейший дискретный аналог дифференциального уравнения (14.1) представляет собой уравнение

приводящее к известному методу Эйлера.

Пример 14.6. Метод Эйлера является примером одношагового метода. Вычисление очередного значения осуществляется здесь по формуле

При численный метод называют многошаговым. Примеры таких методов можно найти в § 14.7 и 14.10.

Замечание. Использование многошагового метода предполагает преодоление одной специфической трудности, не возникающей при применении одношаговых методов. Как уже отмечалось выше, шаговый метод требует задания к начальных значений (14.20), в то время как в постановке задачи Коши содержится только одно начальное значение Поэтому при метод не является самостартующим и для вычисления дополнительных значений необходимы специальные подходы.

3. Явные и неявные методы.

Реализация численного метода на ЭВМ предполагает построение алгоритма, позволяющего вычислить решение поставленной дискретной задачи Коши. В случае, когда входящая в уравнение (14.18) функция не зависит от вычисление значения не вызывает затруднений и осуществляется по явной формуле

Поэтому соответствующие методы называют явными. В противоположность им, методы, в которых функция зависит от называют неявными. При реализации неявного метода при каждом (или, как говорят, на каждом шаге) возникает необходимость решения относительно нелинейного уравнения (14.18).

Пример 14.7. Метод Эйлера, для которого вычисления производятся по явной формуле (14.23), представляет собой явный метод.

Пример 14.8. Простейшим примером неявного метода является неявный метод Эйлера, соответствующий аппроксимации дифференциального уравнения (14.1) дискретным уравнением

Другим примером неявного метода может служить правило трапеций

Как в том, так и в другом методе значение определяется уравнением неявно, и для его вычисления приходится использовать один из итерационных методов решения нелинейных уравнений.

4. Устойчивость.

Если решение дискретной задачи Коши не обладает устойчивостью по отношению к малым возмущениям начальных значений и правой части уравнения, то соответствующий численный метод нельзя использовать в практических вычислениях. Приведем определение устойчивости, достаточное для понимания основного содержания этого и следующих четырех параграфов. Более подробно обсуждение этой проблемы будет проведено в § 14.8.

Внесем в правую часть уравнения (14.18) и в начальные условия (14.20) произвольные малые возмущения соответственно. Положим Пусть у — решение соответствующей возмущенной задачи

Будем называть дискретную задачу Коши (14.18), (14.20) и соответствующий численный метод устойчивыми на конечном отрезке (или просто устойчивыми), если при всех достаточно мало) справедливо неравенство

где величина К не зависит от

Замечание. Неравенство (14.28) является дискретным аналогом неравенства (14.16), выражающего устойчивость задачи Коши. Для одношаговых методов (т.е. при ) неравенство (14.28) принимает вид

и аналогия с (14.16) становится еще более очевидной. Действительно, сумму можно рассматривать как дискретный аналог интеграла построенный по формуле левых прямоугольников (см. 5 13.1).

5. Аппроксимация.

Пусть произвольная гладкая функция. Зафиксируем значение и устремим А к нулю соответственно — к бесконечности). Будем предполагать, что замена в формуле (14.19) значений сеточной функции соответствующими значениями У функции у дает величину

стремящуюся к при

Аналогично предположим, что

Замечание. Из сделанных предположений следует, что коэффициенты , а k должны удовлетворять условию

В самом деле, для величина (14.29) превращается в где По условию, при Но это возможно лишь при что эквивалентно равенству (14.30).

Пусть решение задачи Коши (14.1), (14.2). Назовем сеточную функцию определяемую формулой

погрешностью аппроксимации дискретного уравнения (14.18) на решении у. Эта же формула, записанная в виде

позволяет заметить, что функция удовлетворяет уравнению (14.18) с точностью до погрешности аппроксимации

Сеточную функцию используют для предварительной оценки того, насколько точно аппроксимируется дифференциальное уравнение его дискретным аналогом. Говорят, что дискретное уравнение (14.18) аппроксимирует дифференциальное уравнение (14.1), если и аппроксимирует его с порядком, если справедлива оценка

Часто для оценки качества одношаговых методов (14.21) используют не погрешность аппроксимации, а другую величину — локальную погрешность. Пусть значение, найденное из уравнения

т.е. из уравнения (14.21), в которое вместо подставлено точлое значение решения дифференциального уравнения в точке Тогда разность называется локальной погрешностью метода (или его погрешностью на шаге). Другими словами, это погрешность, которую допускает за один шаг метод, стартовавший с точного решения.

В случае, когда не зависит от (т.е. метод (14.21) является явным), локальная погрешность и погрешность аппроксимации оказываются связаны простым равенством что непосредственно вытекает из данных определений.

Пример 14.9. Покажем, что метод Эйлера имеет первый порядок аппроксимации.

Известно, что

где Учитывая равенство для погрешности аппроксимации получаем следующее выражение:

Поэтому

т.е. метод действительно имеет первый порядок аппроксимации.

Пример 14.10. Для погрешности аппроксимации неявного метода Эйлера (14.24) также справедлива оценка (14.34) и поэтому он также имеет первый порядок аппроксимации. Простое доказательство этого факта рекомендуем провести в качестве упражнения.

Пример 14.11. Найдем выражение для локальной погрешности метода Эйлера.

По определению, где Но в силу равенства Поэтому Таким образом, локальная погрешность метода Эйлера имеет второй порядок малости относительно шага

6. Сходимость.

Пусть решение задачи Коши. Назовем глобальной погрешностью (или просто погрешностью) численного метода сеточную функцию со значениями в узлах . В качестве меры абсолютной погрешности метода примем величину

Численный метод решения задачи Коши называют сходящимся, если для него при Принято говорить, что метод сходится с порядком точности (или имеет порядок точности), если для погрешности справедлива оценка

Покажем теперь, что для устойчивого численного метода из наличия аппроксимации с порядком следует сходимость с тем же порядком. Будем предполагать, что начальные значения заданы с порядком точности, т. е. верна оценка

Справедлива следующая основная теорема.

Теорема 14.4. Пусть численный метод устойчив на конечном отрезке и имеет порядок аппроксимации, равный . Тогда если начальные значения заданы с порядком точности, то и метод сходится с порядком точности.

Пусть погрешность аппроксимации. Положим

Равенство (14.31) позволяет утверждать, что сеточная функция является решением дискретной задачи Коши (14.26), (14.27). Устойчивость метода означает выполнение неравенства (14.28), которое в силу равенств и можно переписать так:

Учитывая, что

правую часть неравенства (14.35) можно оценить величиной Итак,

6. Связь с задачей вычисления интеграла.

Существует тесная связь между проблемой решения задачи Коши и задачей вычисления интеграла с переменным верхним пределом

Действительно, вычисление интеграла (14.36) эквивалентно решению задачи Коши

являющейся частным случаем более общей задачи (14.1), (14.2).

Таким образом, всякий численный метод решения задачи Коши порождает соответствующий метод численного интегрирования. Например, метод Эйлера приводит к формуле левых прямоугольников:

Неявный метод Эйлера дает формулу правых прямоугольников:

а правило трапеций (14.25) приводит к известной формуле трапеций

На примере формулы (14.38) легко увидеть различие между локальной и глобальной погрешностями. Локальная погрешность — это погрешность, допускаемая на одном элементарном отрезке, т.е.

а глобальная погрешность — это результирующая погрешность, т.е.

Рис. 14.6

В данном случае в силу линейности задачи (14.36) глобальная погрешность есть просто сумма локальных погрешностей: Для нелинейного уравнения это уже не так. В зависимости от характера поведения интегральных кривых глобальная ошибка

может оказаться больше (рис. 14.6, а) или меньше (рис. 14.6, б) суммы соответствующих локальных погрешностей.