Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 5.7. Метод Гаусса и разложение матрицы на множители. LU-разложениеВернемся еще раз к методу Гаусса с тем, чтобы рассмотреть его с более общих позиций. Излагаемый ниже подход оказался чрезвычайно плодотворным и привел не только к более глубокому пониманию метода, но и позволил создать высокоэффективные машинные алгоритмы его реализации, а также рассматривать другие точные методы с единой точки зрения. Рассмотрим сначала простейший вариант метода Гаусса для решения системы линейных алгебраических уравнений
1. Схема единственного деления и LU-разложение.При выполнении вычислений 1-го шага исключения по схеме единственного деления система уравнений приводится к виду
где
а коэффициенты
Как нетрудно проверить, справедливы равенства
т. е. преобразование системы (5.51) к виду (5.52) эквивалентно умножению левой и правой частей системы на матрицу Аналогично можно показать, что вычисления 2-го шага исключения приводят систему (5.52) к виду
где
После
с верхней треугольной матрицей
Заметим, что матрица
Аналогично,
Из равенства (5.54) вытекает следующее представление:
Как легко проверить,
Для этого достаточно перемножить матрицы Введем обозначения
Тогда равенство (5.56) в новых обозначениях примет вид
Это и есть LU-разложение матрицы А — представление матрицы А в виде произведения нижней треугольной матрицы Таким образом, прямой ход метода Гаусса без перестановок можно рассматривать как процесс вычисления LU-разложения матрицы системы, на Возможность Теорема 5.3. Если все главные миноры матрицы А отличны от нуля, то существуют единственные нижняя треугольная матрица Структура матриц
При этом вся необходимая для дальнейших вычислений информация сохраняется. Пример 5.12. Проиллюстрируем
Следовательно,
2. Использование LU-разложения.В современных программах, реализующих метод Гаусса на ЭВМ, вычисления разбивают на два основных этапа. Первый этап — это вычисление Смысл выделения первого этапа состоит в том, что он может быть выполнен независимо, для его проведения не нужна информация о правой части системы. Это как бы этап предварительной подготовки к быстрому вычислению решения. Именно для получения LU-разложения производится основная масса вычислений (примерно На втором этапе выполняют следующие действия: 1°. Преобразуют правую часть 2°. С помощью обратной подстановки решают систему Для непосредственного вычисления решения х на втором этапе требуется примерно В случае, если необходимо решить Пример 5.13. Решим систему
Воспользуемся 1-й шаг. 2-й шаг. 3-й шаг.
Обратный ход дает значения неизвестных 3. Метод Гаусса с выбором главного элемента и разложение матрицы на множители. В отличие от схемы единственного деления схема частичного выбора предполагает на Таким образом, после 1-го шага система После завершающего Как нетрудно видеть,
Равенство (5.59) равносильно следующему разложению матрицы А на множители:
где Разложение (5.61) не является
где Пример 5.14. Найдем разложение вида (5.62) для матрицы системы (5.39), используя результаты вычислений примера 5.9. Так как 1-й шаг прямого хода не потребовал перестановки, а на
Для матрицы А прямой ход уже проводится по схеме единственного деления. Отличие от вычислений примера 5.9 состоит в том, что на
После получения разложения вида (5.62) для решения системы 1°. Правую часть перестановкой элементов приводят к виду
2°. Преобразуют вектор 3°. Обратной подстановкой решают систему Заметим, что матрица перестановки Пример 5.15. Решим систему (5.39), используя полученное в примере 5.14 разложение матрицы А Здесь вектор Прямой ход. 1-й шаг. 2-й шаг. Обратный ход проводится точно так же, как в примере 5.9, и дает значения
|
1 |
Оглавление
|