§ 14.6. Методы Рунге-Кутты

Наиболее популярными среди классических явных одношаговых методов являются методы Рунге — Кутты. Методы Эйлера, Эйлера — Коши и усовершенствованный метод Эйлера можно рассматривать как простейших представителей этого класса методов.

1. Вывод расчетных формул.

Поясним вывод расчетных формул метода Рунге-Кутты. Пусть (как и в § 14.5) решение

дифференциального уравнения удовлетворяющее условию Запишем равенство (14.58) в следующем виде:

Если бы входящий в это равенство интеграл можно было вычислить точно, то получилась бы простая формула, позволяющая последовательно вычислить значения решения в узлах сетки. Поскольку в действительности это невозможно, попробуем получить приближенную формулу, заменив интеграл квадратурной суммой (см. гл. 13).

Введем на отрезке вспомогательных узлов , Заметим, что Заменяя входящий в равенство (14.66) интеграл квадратурной суммой с узлами получаем приближенное равенство

Однако воспользоваться равенством (14.67) для вычисления нельзя, так как значения функции у в точках для неизвестны. Чтобы найти эти значения, запишем равенства

аналогичные равенству (14.66). Заменяя для каждого входящий в формулу (14.68) интеграл соответствующей ему квадратурной формулой с узлами придем к приближенным равенствам

позволяющим последовательно вычислять приближения к значениям

Обозначим теперь через вспомогательные величины, имеющие смысл приближений к значениям пусть приближение к значению углового коэффициента к в точке Тогда расчетные формулы примут вид

Часто из этих формул исключают вспомогательные величины и записывают формулы так:

Заметим, что выведенные формулы задают явный одношаговый метод вида где для вычисления значений функции используются значения правой части вспомогательных точках. Поэтому этот метод называют явным -этапным методом Рунге-Кутты.

Выбор конкретных значений параметров осуществляется исходя из различных соображений. Естественно, что одним из основных является желание сделать порядок аппроксимации максимально возможным.

2. Устойчивость и сходимость.

Следующая теорема позволяет в дальнейшем называть методы Рунге-Кутты, имеющие порядок аппроксимации, методами порядка точности.

Теорема 14.7. Пусть правая часть дифференциального уравнения удовлетворяет условию Тогда всякий явный -этапный метод Рунге-Кутты устойчив на конечном отрезке

Следствие. Пусть выполнено условие Тогда если явный -этапный метод Рунге-Кутты имеет порядок аппроксимации, то он сходится с порядком точности.

Справедливость следствия вытекает из теоремы 14 4.

3. Семейство явных двухэтапных методов.

Выведем расчетные формулы семейства явных двухэтапных методов Рунге-Кутты второго порядка точности. Запишем формулы явного двухэтапного метода

в виде

Параметрами этого метода являются величины Представим погрешность аппроксимации

решение дифференциального уравнения в виде разложения по степеням Формула Тейлора

с учетом равенств дает формулу

(аргументы у функции и ее частных производных опускаем).

Представим значение функции в точке используя формулу Тейлора для функции двух переменных с центром в точке

Таким образом,

Если потребовать, чтобы выполнялись условия (что эквивалентно выбору то первые два слагаемых в формуле для обратятся в нуль, и поэтому метод будет иметь второй порядок аппроксимации.

Итак (с учетом следствия из теоремы 14.7), можно утверждать, что при любом метод

имеет второй порядок точности.

Заметим, что при формула (14.69) дает метод Эйлера-Коши, а при усовершенствованный метод Эйлера (см. § 14.5).

4. Метод Рунге-Кутты четвертого порядка точности.

Наиболее известным из методов Рунге-Кутты является классический -этапный метод четвертого порядка точности:

Этот метод весьма прост и, как показывает практика, довольно эффективен в обычных расчетах, когда отрезок не очень велик и нужна сравнительно невысокая точность.

Замечание. Применение метода (14.70) к решению задачи о вычислении интеграла (14.36) порождает формулу Симпсона

Таким образом, классический метод Рунге-Кутты четвертого порядка точности (14.70) можно рассматривать как аналог формулы Симпсона, отвечающий решению задачи Коши.

Пример 14.15. Про демонстрируем работу метода Рунге-Кутты четвертого порядка точности применительно к решению «задачи Коши (14.45). В этом случае расчетные формулы принимают вид

Найденные с шагом приближенные значения решения и их погрешности приведены в табл. 14.4.

Таблица 14.4 (см. скан)

5. Обсуждение методов Рунге-Кутты.

Методы Рунге-Кутты имеют несколько достоинств, определивших их популярность среди значительного числа исследователей. Эти методы легко программируются. Они обладают достаточными для широкого круга задач свойствами точности и устойчивости. Эти методы (как и все одношаговые методы) являются самостартующими и позволяют на любом этапе вычислений легко изменять шаг интегрирования.

Увеличивая число вспомогательных точек, можно построить методы Рунге-Кутты любого порядка точности Однако уже при

эти методы используются довольно редко. Это объясняется как чрезмерной громоздкостью получающихся вычислительных формул, так и том, что преимущества методов высокого порядка точности над методами, в которых проявляются либо в тех задачах, где нужна очнь высокая точность и используются ЭВМ высокой разрядности, либо в тех задачах, где решение очень гладкое. Кроме того, методы Рунге-Кутты высокого порядка точности часто оказываются менее эффективными по сравнению с методами Адамса того же порядка точности (см. § 14 7).

Замечай и Кроме описанных выше классических явных методов Рунге-Кутты используются и более сложные в реализации неявные -этапные методы Рунге-Кутты:

Эти методы имеют ряд преимуществ перед явными методами, однако это достигается за счет существенного усложнения вычислительного алгоритма, так как на каждом шаге необходимо решать систему нелинейных уравнений. В настоящее время неявные методы Рунге-Кутты применяются в основном для решения так называемых жестких задач (см. § 14 11).

6. Автоматический выбор шага.

Отметим, что в современных программах, реализующих методы Рунге-Кутты, обязательно используется некоторый алгоритм автоматического изменения шага интегрирования

Интуитиьно ясно, что на участках плавного изменения решения счет можно вести с достаточно крупным шагом. В то же время на тех участках, где происходят резкие изменения поведения решения, необходимо выбирать мелкий шаг интегрирования. Обычно начальное значение шага задает пользователь. Далее шаг интегрирования меняется в соответствии с величинои получаемой в ходе вычислений оценки локальной погрешности. Само по себе изменение шага для методов Рунге-Кутты (впрочем, как и для всех других одношаговых методов) не представляет сложности. Действительная проблема состоит в том, как оценить локальную погрешность и выбрать очередной шаг интегрирования.

Один из распространенных подходов состоит в использовании правила Руте (правила двойною пересчета) Пусть значение в точке

уже найдено и решение уравнения удовлетворяющее условию Обозначим через приближение к значению найденное с помощью одношагового метода

который имеет порядок точности, равный Можно показать, что для методов Рунге-Кутты локальная погрешность допускает представление

где непрерывная функция. Следовательно, при достаточно малых справедливо приближенное равенство

Уменьшим теперь шаг интегрирования вдвое, положив и вычислим приближение к значению решения в точке с помощью того же одношагового метода. Для этого потребуется выполнить уже два элементарных шага по формулам

Полученное таким образом значение будет, конечно, отличаться от значения, найденного по формуле (14.71). Достаточно ясно, что два шага величины приведут здесь к локальной погрешности

Вычитая из равенства (14.72) равенство (14.73), получим формулу

Сравнение ее с (14.73) приводит к приближенному равенству

Использование этой формулы для апостериорной оценки локальной погрешности значения (которое в дальнейшем принимается за приближенное значение решения задачи Коши в точке и называют правилом Руте. Заметим, что этот способ контроля точности приводит к увеличению времени счета примерно на 50%.

Существуют более экономичные методы оценки локальной погрешности, основанные на использовании для контроля точности двух различных методов Рунге — Кутты. В настоящее время одним из самых эффективных методов такого типа является метод Рунге-Кутты-Фельберга. В этом методе для оценки погрешности метода пятого порядка точности используются формулы метода четвертого порядка точности, причем на одном шаге требуется всего лишь шесть вычислений значений правой части

После того как тем или иным способом оценена локальная ошибка, программа принимает решение о том, оставить ли шаг интегрирования прежним, уменьшить ли его вдвое или увеличить в два раза. Это происходит примерно по той же схеме, что и в адаптивных программах, предназначенных для вычисления определенных интегралов (см. § 13.5). Известно, что при оптимальном выборе шагов интегрирования абсолютные погрешности, приходящиеся на каждый из шагов, должны быть примерно равны (см. [9]). Этот результат учитывается при создании стандартных программ с автоматическим выбором шага.

7. Влияние вычислительной погрешности.

Влияние погрешностей на результат вычислений с помощью явных методов Рунге — Кутты примерно таково же, как и для метода Эйлера (см. § 14.4). Однако для них Кроме того, высокая точность методов позволяет вести интегрирование со сравнительно большим шагом и поэтому влияние вычислительной погрешности обычно бывает несущественным.