Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 5.6. Метод Гаусса и решение систем уравнений с несколькими правыми частями, обращение матриц, вычисление определителейРассмотрим применение метода Гаусса к решению следующих задач линейной алгебры: 1) вычисление решений системы уравнений с несколькими правыми частями; 2) вычисление обратной матрицы; 3) вычисление определителя. 1. Вычисление решений системы уравнений с несколькими правыми частями.Довольно часто на практике встречается ситуация, когда нужно решить несколько систем уравнений
с одной матрицей А и различными правыми частями Конечно, применяя метод Гаусса к каждой из систем (5.46) независимо от других, можно найти соответствующие решения
Преобразование правых частей не обязательно производить параллельно. Каждую из правых частей 2. Вычисление обратной матрицы.Прежде чем переходить к изложению метода вычисления обратной матрицы К сожалению, зачастую обращение матрицы А производится с единственной целью вычислить по известному вектору 6 вектор х вида Может показаться особенно выгодным предварительное вычисление матрицы
Однако суммарные затраты при таком подходе составят примерно Иногда в пользу необходимости вычисления Довольно часто при решении различных задач средствами линейной алгебры возникают выражения типа
Если у исследователя нет достаточного опыта решения задач линейной алгебры на ЭВМ, то он может принять решение о необходимости вычислять матрицы Сказанное выше вовсе не означает, что нет ситуаций, когда вычисление матрицы Покажем, как вычисление обратной матрицы можно свести к рассмотренной выше задаче решения системы уравнений с несколькими правыми частями. Обозначим матрицу Согласно определению обратной матрицы верно равенство
Таким образом, столбцы матрицы А. Согласно изложенному выше, для этого потребовалось бы примерно 3. Вычисление определителя.Воспользуемся алгоритмом метода Гаусса с выбором главного элемента по столбцу и заметим, что искомый определитель и определитель полученной треугольной матрицы
где
где Можно избежать переполнения и исчезновения порядка, если для вычисления
Однако следует иметь в виду, что ее использование может привести к некоторой потере точности. Замечание. Действительная необходимость в вычислении определителей возникает довольно редко. Во всяком случае основанные на их использовании алгоритмы оказываются весьма неэффективными (как в примере 3.34, где обсуждалось правило Крамера), и поэтому вычисление определителей давно уже не является элементом современных алгоритмов линейной алгебры. Кроме того, из результатов в § 5.4 следует, что использование величины Пример 5.11. Используя метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу вычислим определитель матрицы
на 6-разрядной десятичной ЭВМ. Повторяя преобразования из примера 5.9, получим матрицу
Так как была сделана одна перестановка строк, то формула (5.50) дает Можно с достаточной степенью уверенности предположить, что во многих технических науках, где традиционно используются определители, в ближайшее время неизбежен переход к использованию других более содержательных характеристик линейных моделей. Такими естественными характеристиками могут служить, например, собственные числа и собственные векторы матриц (см. гл. 8).
|
1 |
Оглавление
|