§ 14.10. Решение задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений m-го порядка

1. Задача Коши для систем дифференциальных уравнений первого порядка.

Как правило, возникающие в приложениях проблемы приводят к необходимости решать задачу Коши не для одного дифференциального уравнения, а для систем дифференциальных уравнений вида

Здесь искомые функции, значения которых подлежат определению при В момент времени задаются начальные условия

определяющие начальное состояние физической системы, развитие которой описывается уравнениями (14.104).

Введем вектор-функции и вектор Тогда задачу Коши (14.104), (14.105) можно записать в компактной форме:

Для того чтобы охватить ряд важных для технических приложений задач (электротехника, радиотехника и др.), будем считать, что функции могут принимать комплексные значения.

2. Разрешимость задачи Коши.

Пусть множество таких точек для которых произвольные комплексные числа. Это множество будем называть слоем. Будем, как и ранее, использовать обозначения для скалярного произведения и нормы -мерных комплексных векторов.

Сформулируем аналог теоремы 14.1 о разрешимости задачи Коши.

Теорема 14.15. Пусть вектор-функция определена и непрерывна в слое Предположим также, что она удовлетворяет условию Липшица

для всех произвольных где некоторая постоянная (постоянная Липшица).

Тогда для каждого начального значения существует единственное решение задачи Коши (14.106), (14.107), определенное на отрезке

Замечание 1. Можно показать, что если функции непрерывно дифференцируемы по то условие Липшица (14.108) выполняется с постоянной тогда и только тогда, когда матрица Якоби

удовлетворяет неравенству

Замечание 2. Теорема 14.16 остается справедливой, если в ее формулировке условие Липшица (14.108) заменить менее ограничительным односторонним условием Липшица

Назовем систему дифференциальных уравнений диссипативной, если вектор-функция удовлетворяет неравенству

(т.е. если удовлетворяет одностороннему условию Липшица с постоянной

3. Устойчивость решения задачи Коши.

Приведем аналог теоремы 14.3.

Теорема 14.16. Пусть выполнены условия теоремы 14.15. Далее, пусть решение задачи (14.106), (14.107), а решение задачи

Тогда справедлива оценка

выражающая устойчивость на конечном отрезке решения задачи Коши по начальным значениям и правой части. Здесь

Если в теореме 14.15 условие Липшица (14.108) заменить

одностеронним условием (14.109), то оценка (14.112) будет выполнена с постоянной при и с постоянной при

Следствие. Если система (14.106) диссипативна, то справедлива оценка

Замечание. Можно показать, что если условие (14.109) выполнено с постоянной то для всех справедлива оценка

По аналогии со случаем одного дифференциального уравнения (см. § 14.1) рассмотрим вопрос об устойчивости решения задачи Коши к возмущениям начальных данных при Будем считать, что на каждом отрезке произвольно) неравенство (14.109) выполнено с некоторой постоянной Тогда решение определено для всех Пусть решение задачи (14.110), (14.111), отвечающее произвольному начальному значению Будем называть решение задачи Коши (14.106), (14.107) устойчивым по Ляпунову, если справедлива оценка где постоянная К не зависит от Если дополнительно известно, что при то решение называется асимптотически устойчивым.

Замечание 1. При из неравенства (14.113) получаем оценку Поэтому всякое решение диссипативной системы является устойчивым по Ляпунову. Замечание 2. Предположим, что одностороннее условие Липшица (14.109) для всех выполняется с одной и той же постоянной Тогда при из неравенства (14.114) получаем оценку

откуда следует, что при те. решение асимптотически устойчиво.

4. Система линейных уравнений с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим систему

являющуюся простейшим примером системы дифференциальных уравнений первого порядка; здесь А — квадратная матрица порядка . В теории численных методов решения систем дифференциальных уравнений система (14.115) играет роль, аналогичную той, которую при исследовании методов численного интегрирования одного уравнения выполняет модельное уравнение (см. § 14.1).

Напомним структуру решения системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами в наиболее простом и важном случае, когда матрица А имеет простую структуру. В этом случае существует набор собственных векторов матрицы А, соответствующих собственным значениям который образует базис в пространстве -мерных векторов. Матрица столбцами которой служат векторы не вырождена и такова, что

Обозначим через координаты вектора в базисе Так как

то вектор связан с вектором равенством Умножив обе части системы (14.115) слева на получим для вектор—функции систему уравнений

В силу диагональной структуры матрицы А эта система распадается на независимых дифференциальных уравнений

Заметим, что уравнение (14.118) для компоненты вектора есть модельное уравнение с параметром

Таким образом, в рассматриваемом случае интегрирование системы линейных дифференциальных уравнений эквивалентно интегрированию модальных уравнений (14 118). Решая каждое из них, получим и в силу равенства (14.117) находим

Здесь

Пусть погрешность решения, вызванная погрешностью начальных значений В силу линейности системы (14.117) погрешность является решением той же системы: Следовательно,

где

Формула (14.119) позволяет сделать ряд важных выводов В частности, на нее следует, что решение системы (14 115) с постоянной матрицей А простой структуры устойчиво по Ляпунову тогда и только тогда, когда для всех и асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда для всех Отметим также, что в отличие от случая одного дифференциального уравнения для систем характерно наличие временных постоянных Наличие в решении задачи физических компонент с существенно различными временными постоянными может привести к серьезным затруднениям при численном решении соответствующих задач Более подробно этот вопрос рассматривается в следующем параграфе.

Пусть теперь решение нелинейной системы

отвечающее возмущенному начальному условию Вычитая из уравнения (14.120) уравнение и используя приближенное равенство

получаем, что погрешность удовлетворяет приближенному равенству

Таким образом, можно предположить, что в малой окрестности точки эволюция погрешности происходит примерно так, как и для системы (14.117), т.е.

Здесь собственные значения и собственные векторы матрицы

5. Понятие о численных методах решения задачи Коши для систем уравнений первого порядка.

Описанные выше применительно к решению задачи Коши для одного уравнения методы можно использовать и для систем уравнений первого порядка, причем форма их записи претерпевает минимальные изменения. Следует лишь заменить в расчетных формулах числа на векторы функцию на вектор—функцию и т. д. результате дискретное уравнение (14.18) преобразуется в систему дискретных уравнений

Например, расчетная формула метода Эйлера применительно к решению системы (14.106) принимает вид

Покоординатная запись этого соотношения выглядит так:

Аналогично, метод Рунге-Кутты четвертого порядка точности (14.70) порождает для систем дифференциальных уравнений первого порядка следующий метод:

Теория численных методов решения задачи Коши для систем дифференциальных уравнений имеет много общего с соответствующей теорией решения задачи Коши для одного дифференциального уравнения. В частности, справедливы аналоги всех изложенных выше результатов, касающихся устойчивости и сходимости дискретных методов на конечном отрезке. Однако имеют место и существенно новые явления. Один из таких эффектов - жесткость — будет рассмотрен в следующем параграфе. Прежде чем переходить к его изложению, выясним, какие изменения появляются в случае применения дискретных методов к решению задачи Коши для системы уравнений с постоянными коэффициентами (14.115).

Рассмотрим линейный многошаговый метод

Предположим для простоты, что матрица А имеет простую структуру. Положим где матрица, удовлетворяющая равенству (14.116). Умножив обе части уравнения (14.121) на матрицу слева и учитывая, что

получим соотношение

Так как матрица диагональная, то оно эквивалентно следующей системе уравнений для компонент вектора

Заметим, что (14.122) есть не что иное, как результат применения линейного многошагового метода к решению уравнений (14.18).

Таким образом, если решения системы (14.115) устойчивы по Ляпунову, то для того чтобы погрешности оставались ограниченными при необходимо потребовать, чтобы для всех величина принадлежала области абсолютной устойчивости применяемого метода. Можно показать, что такой же вывод справедлив и для методов Рунге-Кутты. Требование, чтобы при всех

для методов, не обладающих свойством -устойчивости, может приводить к существенным ограничениям на величину шага

Предположим, например, что все собственные значения матрицы А отрицательны. Тогда условие (14.96) абсолютной устойчивости метода Эйлера приводит к следующему ограничению на длину шага интегрирования:

Такое же ограничение на шаг возникает при использовании метода Эйлера-Коши и усовершенствованного метода Эйлера. Метод Рунге-Кутты четвертого порядка точности, как следует из неравенства (14.97), оказывается абсолютно устойчивым при таком ограничении на длину шага:

Следовательно, для явных методов шаг интегрирования должен не превышать значения пропорционального наименьшей из временных постоянных системы.

6. Сведение задачи Коши для уравнения m-го порядка к задаче Коши для системы уравнений первого порядка.

Задача Коши для дифференциального уравнения порядка состоит в нахождении функции удовлетворяющей при дифференциальному уравнению

а при начальным условиям

Рассмотрим функции Заметим, что Поэтому введенные функции удовлетворяют системе дифференциальных уравнений первого порядка

Начальные условия (14.125) в новых обозначениях принимают вид

Пример 14.21. Задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка введением новых искомых функций сводится к эквивалентной задаче Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка

Для решения задачи Коши (14.124), (14.125), приведенной к виду (14.126), (14.127), можно воспользоваться известными методами или даже готовыми программами. Часто именно так и поступают. Следует все же иметь в виду, что вычисления можно организовать и так, что сведение уравнения (14.124) к системе (14.126) не потребуется. Например, для решения дифференциального уравнений второго порядка используется ряд специальных методов [88]. Одним из наиболее популярных среди них является метод Нумерова четвертого порядка точности: