Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 14.10. Решение задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений m-го порядка1. Задача Коши для систем дифференциальных уравнений первого порядка.Как правило, возникающие в приложениях проблемы приводят к необходимости решать задачу Коши не для одного дифференциального уравнения, а для систем дифференциальных уравнений вида
Здесь
определяющие начальное состояние физической системы, развитие которой описывается уравнениями (14.104). Введем вектор-функции
Для того чтобы охватить ряд важных для технических приложений задач (электротехника, радиотехника и др.), будем считать, что функции 2. Разрешимость задачи Коши.Пусть Сформулируем аналог теоремы 14.1 о разрешимости задачи Коши. Теорема 14.15. Пусть вектор-функция
для всех Тогда для каждого начального значения Замечание 1. Можно показать, что если функции
удовлетворяет неравенству Замечание 2. Теорема 14.16 остается справедливой, если в ее формулировке условие Липшица (14.108) заменить менее ограничительным односторонним условием Липшица
Назовем систему дифференциальных уравнений диссипативной, если вектор-функция
(т.е. если 3. Устойчивость решения задачи Коши.Приведем аналог теоремы 14.3. Теорема 14.16. Пусть выполнены условия теоремы 14.15. Далее, пусть
Тогда справедлива оценка
выражающая устойчивость на конечном отрезке Если в теореме 14.15 условие Липшица (14.108) заменить одностеронним условием (14.109), то оценка (14.112) будет выполнена с постоянной Следствие. Если система (14.106) диссипативна, то справедлива оценка
Замечание. Можно показать, что если условие (14.109) выполнено с постоянной
По аналогии со случаем одного дифференциального уравнения (см. § 14.1) рассмотрим вопрос об устойчивости решения задачи Коши к возмущениям начальных данных при Замечание 1. При
откуда следует, что 4. Система линейных уравнений с постоянными коэффициентами.Рассмотрим систему
являющуюся простейшим примером системы дифференциальных уравнений первого порядка; здесь А — квадратная матрица порядка Напомним структуру решения системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами в наиболее простом и важном случае, когда матрица А имеет простую структуру. В этом случае существует набор
Обозначим через
то вектор
В силу диагональной структуры матрицы А эта система распадается на
Заметим, что уравнение (14.118) для Таким образом, в рассматриваемом случае интегрирование системы линейных дифференциальных уравнений эквивалентно интегрированию
Здесь Пусть
где Формула (14.119) позволяет сделать ряд важных выводов В частности, на нее следует, что решение системы (14 115) с постоянной матрицей А простой структуры устойчиво по Ляпунову тогда и только тогда, когда Пусть теперь
отвечающее возмущенному начальному условию
получаем, что погрешность
Таким образом, можно предположить, что в малой окрестности точки
Здесь 5. Понятие о численных методах решения задачи Коши для систем уравнений первого порядка.Описанные выше применительно к решению задачи Коши для одного уравнения методы можно использовать и для систем уравнений первого порядка, причем форма их записи претерпевает минимальные изменения. Следует лишь заменить в расчетных формулах числа
Например, расчетная формула метода Эйлера
Покоординатная запись этого соотношения выглядит так:
Аналогично, метод Рунге-Кутты четвертого порядка точности (14.70) порождает для систем дифференциальных уравнений первого порядка следующий метод:
Теория численных методов решения задачи Коши для систем дифференциальных уравнений имеет много общего с соответствующей теорией решения задачи Коши для одного дифференциального уравнения. В частности, справедливы аналоги всех изложенных выше результатов, касающихся устойчивости и сходимости дискретных методов на конечном отрезке. Однако имеют место и существенно новые явления. Один из таких эффектов - жесткость — будет рассмотрен в следующем параграфе. Прежде чем переходить к его изложению, выясним, какие изменения появляются в случае применения дискретных методов к решению задачи Коши для системы уравнений с постоянными коэффициентами (14.115). Рассмотрим линейный многошаговый метод
Предположим для простоты, что матрица А имеет простую структуру. Положим
получим соотношение
Так как матрица
Заметим, что (14.122) есть не что иное, как результат применения линейного многошагового метода к решению уравнений (14.18). Таким образом, если решения системы (14.115) устойчивы по Ляпунову, то для того чтобы погрешности
Предположим, например, что все собственные значения матрицы А отрицательны. Тогда условие (14.96) абсолютной устойчивости метода Эйлера приводит к следующему ограничению на длину шага интегрирования:
Такое же ограничение на шаг возникает при использовании метода Эйлера-Коши и усовершенствованного метода Эйлера. Метод Рунге-Кутты четвертого порядка точности, как следует из неравенства (14.97), оказывается абсолютно устойчивым при таком ограничении на длину шага:
Следовательно, для явных методов шаг интегрирования должен не превышать значения 6. Сведение задачи Коши для уравнения m-го порядка к задаче Коши для системы уравнений первого порядка.Задача Коши для дифференциального уравнения
а при
Рассмотрим функции
Начальные условия (14.125) в новых обозначениях принимают вид
Пример 14.21. Задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка
Для решения задачи Коши (14.124), (14.125), приведенной к виду (14.126), (14.127), можно воспользоваться известными методами или даже готовыми программами. Часто именно так и поступают. Следует все же иметь в виду, что вычисления можно организовать и так, что сведение уравнения (14.124) к системе (14.126) не потребуется. Например, для решения дифференциального уравнений второго порядка
|
1 |
Оглавление
|