§ 14.5. Модификации метода Эйлера второго порядка точности

Медленная сходимость метода Эйлера (его погрешность убывает пропорционально лишь первой степени является серьезным препятствием для использования его на практике. Из рис. 14.7 видно, что уже один шаг по касательной к интегральной кривой приводит к значительной величине локальной погрешности Можно ли так подправить расчетную формулу метода, чтобы существенно уменьшить величину

Пусть решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее условию Далее, пусть

— угловой коэффициент секущей, проходящей через точки и графика функции (рис. 14.10).

Ясно, что "метод", состоящий в вычислении но формуле

имеет нулевую локальную погрешность Для того чтобы воспользоваться этой формулой, нужно лишь "научиться вычислять значение Интегрируя обе части уравнения (14 55) от до и используя формулу Ньютона-Лейбница , приходим к равенству

Из равенств (14 56) и ( следует, что

Заметим теперь, что применение для приближенного вычисления интеграла, стоящего в правой части выражения (14 59). формулы левых прямоугольников немедленно приводит от (14 57) к методу Эйлера (14 46)

Известно (см гл 13), что больший порядок точности имеет формула трапеций

Непосредственное ее применение к вычислению приводит к правилу трапеций

(ср. с (14.25))) Этот метод имеет второй порядок точности, но является неявным Поэтому его реализация связана с необходимостью решения относительно нелинейною уравнения

Построим на основе правила трапеций явный метод. Для этого подставим в правую часть формулы (14.60) значение , "предсказываемое" методом Эйлера. В результате получается метод

который называют методом Эйлера-Коши (или методом Хьюиа).

Геометрическая иллюстрация этого метода представлена на рис. 14.11. Вычисления разбивают на два этапа. На первом этапе (этапе прогноза) в соответствии с методом Эйлера вычисляют грубое приближение к значению . В точке определяют угловой коэффициент втором этапе (этапе коррекции) вычисляют усредненное значение углового коэффициента Уточненное значение находят по формуле что соответствует шагу по прямой, проходящей через точку и имеющей узловой коэффициент, равный

Рис. 14.11.

Замечание. Метод Эйлера-Коши относится к классу методов прогноза и коррекции (иначе говоря, методов типа предиктор—корректор).

Метод (14.61), который можно рассматривать как модификацию метода Эйлера, имеет второй порядок точности. Еще одну модификацию второго порядка точности можно получить с помощью формулы (центральных) прямоугольников

если для приближенного вычисления значения применить метод Эйлера. В результате получим расчетные формулы усовершенствованного метода Эйлера

Геометрическая иллюстрация этого метода приведена на рис. 14.12.

Пример 14.14. Применим рассмотренные в этом параграфе методы для численного решения задачи (14.45) с шагом

Рис. 14.12

Расчетная формула метода Эйлера-Коши принимает вид

Вычисления усовершенствованного метода Эйлера производим по формуле

Правило трапеций (14.60) приводит к уравнению

которое в данном случае линейно и легко разрешается относительно

Результаты вычислений по формулам (14.63), (14.64) и (14.65) приведены в табл. 14.3. Там же для сравнения представлены значения решения Нижняя строка таблицы содержит величину абсолютной погрешности

Таблица 14.3 (см. скан)

Как видно из сравнения табл. 14.3 с табл. 14.2, проведенные в этом параграфе модификации метода Эйлера действительно привели к повышению точности.