Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И РЕШЕНИЕ ИНЖЕНЕРНЫХ ЗАДАЧ С ПРИМЕНЕНИЕМ ЭВМ

В этой главе дается общее представление о методе математического моделирования, в том числе о процессе создания математических моделей, о последовательности этапов решения инженерной задачи с применением ЭВМ, о вычислительном эксперименте.

Разделение решаемых с применением ЭВМ прикладных задач на инженерные, научные, экономические и т.п. является до известной степени условным. Тем не менее при написании данного пособия авторы ориентировались на читателя, интересующегося решением именно инженерных задач. Попытаемся охарактеризовать этот класс задач, выделив его некоторые характерные особенности.

1. Инженерные задачи имеют ярко выраженную практическую направленность. Целью их решения является создание новой конструкции, разработка нового технологического процесса, минимизация затрат на производство некоторого изделия и т.д. Поэтому для таких задач характерна необходимость доведения результатов до конкретных чисел, графиков, таблиц, на основании которых можно принимать решения.

2. Эти задачи характеризуются значительным объемом выполняемой вычислительной работы.

3. Для этих задач характерно использование достаточно сложных математических моделей и серьезного математического аппарата.

4. Как правило, инженерные задачи решают специалисты, имеющие техническое образование, но не являющиеся профессионалами в области разработки математических методов и программного обеспечения ЭВМ. Поэтому естественно желание этих специалистов использовать готовые вычислительные методы и стандартное математическое программное обеспечение.

Наконец, условимся считать, что в рассматриваемый класс задач входят задачи только умеренной сложности. Для их решений не требуются сверхбольшие скорости вычислений и сверхбольшие объемы

памяти для хранения данных. Таким образом, эти задачи могут быть решены с помощью ЭВМ, доступных массовому пользователю. Те же задачи, которые требуют для решения сверхмощной вычислительной техники и принципиально новых алгоритмов, будем относить к категории научных задач.

§ 1.1. Математическое моделирование в процесс создания математической модели

Математическое моделирование представляет собой метод исследования объектов и процессов реального мира с помощью их приближенных описаний на языке математики — математических моделей. Этот метод чрезвычайно плодотворен и известен уже несколько тысячелетий. Насущные задачи земледелия и строительства еще в древние времена приводили к необходимости определения площадей и объемов, а следовательно, и к рассмотрению элементарных геометрических фигур, дающих пример простейших математических моделей. Возможности математического моделирования и его влияния на научно-технический прогресс неизмеримо возросли в последние десятилетия в связи с созданием и широким внедрением ЭВМ.

Процесс создания математической модели условно можно разбить на ряд основных этапов: 1) построение математической модели; 2) постановка, исследование и решение соответствующих вычислительных задач; 3) проверка качества модели на практике и модификация модели. Рассмотрим основное содержание этих этапов.

1. Построение математической модели.

Предполагается, что с помощью наблюдений и экспериментов, практики (понимаемой в самом широком смысле) получена достаточно подробная информация об изучаемом явлении. Для рассматриваемого этапа характерно глубокое проникновение в полученные факты с целью выяснения главных закономерностей. Выявляются основные "характеристики" явления, которым сопоставляются некоторые величины. Как правило, эти величины принимают числовые значения, т.е. являются переменными, векторами, матрицами, функциями и т.д.

Установленным внутренним связям между "характеристиками" явления придается форма равенств, неравенств, уравнений и логических структур, связывающих величины, включенные в математическую модель. Таким образом, математическая модель становится записью на языке математики законов природы, управляющих протеканием исследуемого процесса или описывающих функционирование изучаемого

объекта. Она включает в себя набор некоторых величин и описание характера связи между ними.

Построение математических моделей — существенная и очень важная часть естественных и технических наук. Эта задача, требующая от исследователя глубокого знания предметной области, высокой математической культуры, опыта построения моделей, развитой интуиции и многого другого. Создание удачной новой модели — всегда крупное достижение соответствующей науки, а иногда и целый этап в ее развитии.

Подчеркнем, что математическая модель неизбежно представляет собой компромисс между бесконечной сложностью изучаемого явления и желаемой простотой его описания. Модель должна быть достаточно полной, для того чтобы оказаться полезной для изучения свойств исследуемого явления. В то же время она обязана быть достаточно простой, для того чтобы допускать возможность ее анализа существующими в математике средствами и ее реализации на ЭВМ. Из огромного числа характеристик явления и действующих на него факторов требуется выделить основные, определяющие, отбросив при этом второстепенные, несущественные.

Нередко в математическую модель закладываются некоторые гипотезы, еще не подтвержденные на практике. Такую математическую модель часто называют гипотетической.

Приведем пример простейшей математической модели.

Рис. 1.1

Пример 1.1. Пусть исследуется движение тела, брошенного со скоростью под углом а к поверхности Земли.

Будем считать, что в рассматриваемом случае можно пренебречь сопротивлением воздуха, считать Землю плоской, а ускорение свободного падения постоянной. Введем систему координат, ее начало поместим в точку бросания, ось направим горизонтально в направлении бросания, а ось вертикально вверх (рис. 1.1). Пусть и горизонтальная и вертикальная составляющие скорости в момент времени t (в начальный момент

Согласно законам механики, при сделанных предположениях движение тела в горизонтальном направлении является равномерным, а в вертикальном

равноускоренным с ускорением, равным Поэтому справедливы следующие равенства:

Формулы (1.1), (1.2) и дают простейшую математическую модель рассматриваемого явления, созданную в XVII в. Г. Галилеем. Заметим, что при траектория движения представляет собой параболу

Математические модели часто разделяют на статические и динамические. Статическая модель описывает явление или ситуацию в предположении их завершенности, неизменности (т.е. в статике). Динамическая модель описывает, как протекает явление или изменяется ситуация от одного состояния к другому (т.е. в динамике). При использовании динамических моделей, как правило, задают начальное состояние системы, а затем исследуют изменение этого состояния во времени.

2. Постановка, исследование и решение вычислительных задач.

Для того чтобы найти интересующие исследователя значения величин или выяснить характер из зависимости от других входящих в математическую модель величин, ставят, а затем решают математические задачи.

Выявим основные типы решаемых задач. Для этого все величины, включенные в математическую модель, условно разобьем на три группы: 1) исходные (входные) данные параметры модели а; 3) искомое решение (выходные данные) у. В динамических моделях искомое решение часто является функцией времени переменная t в таких моделях, как правило, бывает выделенной и играет особую роль.

Наиболее часто решают так называемые прямые задачи, постановка которых выглядит следующим образом: по данному значению входного данного х при фиксированных значениях параметров а требуется найти решение у. Процесс решения прямой задачи можно рассматривать как математическое моделирование причинно-следственной связи, присущей явлению. Тогда входное данное х характеризует "причины" явления, которые задаются и варьируются в процессе исследования, а искомое решение у — "следствие".

Для того чтобы математическое описание было применимо не к единичному явлению, а к широкому кругу близких по природе явлений, в действительности строят не единичную математическую модель, а некоторое параметрическое семейство моделей. Будем считать, что выбор конкретной модели из этого семейства осуществляется фиксацией значений параметров модели а. Например, в роли таких параметров могут выступать некоторые из коэффициентов, входящих в уравнения. С помощью выбора параметров может производиться указание типа функциональной зависимости между некоторыми из величин. Наконец, если используемые математические модели разбиты на классы, то параметром может служить и класс используемой модели.

Пример 1.2. Для модели (1.1), (1.2) прямую задачу естественно формулировать как задачу вычисления величин и по задаваемым входным данным Параметром модели здесь является величина ускорения свободного падения Ее значение зависит от того, производится ли бросание тела с поверхности Земли на уровне Мирового океана, в глубокой шахте или же на большой высоте. Заметим, что та же модель пригодна для описания движения тела, брошенного на любой другой планете, если значение параметра для этой планеты известно.

Большую роль играет решение так называемых обратных задач, состоящих в определении входного данного х по данному значению у (параметры модели а, как и в прямой задаче, фиксированы). Решение обратной задачи — это в определенном смысле попытка выяснить, какие "причины" х привели к известному "следствию" у. Как правило, обратные задачи оказываются сложнее для решения, чем прямые.

Пример 1.3. Для модели (1.1), обратную задачу можно сформулировать так: по заданньм и требуется найти значения Заметим, что для однозначного определения а достаточно задать в любой фиксированный момент одну из пар величин или

Помимо двух рассмотренных типов задач следует упомянуть еще один тип — задачи идентификации. В широком смысле задача идентификации модели — это задача выбора среди множества всевозможных моделей той, которая наилучшим образом описывает изучаемое явление. В такой постановке эта задача выглядит как практически неразрешимая проблема. Чаще задачу идентификации понимают в узком смысле, как задачу выбора из заданного параметрического семейства моделей конкретной математической модели (с помощью выбора ее параметров а), с тем чтобы оптимальным в смысле некоторого

критерия образом согласовать следствия из модели с результатами наблюдений.

Пример 1.4. Применительно к модели (1.1), (1.2) задача идентификации может состоять в определении величины ускорения свободного падения планеты по результатам наблюдений за параметрами траектории.

Указанные три типа задач (прямые, обратные и задачи идентификации) будем называть вычислительными задачами. Для удобства изложения в дальнейшем независимо от типа решаемой задачи будем называть набор подлежащих определению величин искомым решением и обозначать через у, а набор величин — входным данным и обозначать через х.

Пример 1.5. При описании многих явлений используют модель полиномиальной зависимости между величинами

Здесь коэффициенты многочлена, являющиеся параметрами модели (в число параметров модели можно включить и степень многочлена). При фиксированных значениях параметров прямая задача состоит в вычислении значения многочлена по заданному х. В таком случае целью решения обратной задачи является определение по заданному значению у соответствующего ему значения х. Нетрудно видеть, что это есть задача отыскания корней многочлена, отличающегося от заменой коэффициента на Если же из практики известна некоторая информация о зависимости у от х, то определение параметров при которых модель (1.3) наилучшим в некотором смысле образом описывает эту зависимость, представляет собой задачу идентификации. Например, если задана таблица значений то такую задачу в зависимости от ситуации можно решать, используя известные методы итерполяции и наименьших квадратов (см. гл. 11).

Пример 1.6. Нередко входящие в модель функции бывают связаны равенством

Например, так связаны между собой скорость и путь при прямолинейном движении. Тогда при фиксированном значении постоянной С прямая

задача (задача интегрирования) состоит в вычислении первообразной по заданной функции Обратная задача (задача дифференцирования) заключается в вычислении по заданной функции

Как правило, решение вычислительной задачи не удается выразить через входные данные в виде конечной формулы. Однако это совсем не означает, что решение такой задачи не может быть найдено. Существуют специальные методы, которые называют численными (или вычислительными). Они позволяют свести получение численного значения решения к последовательности арифметических операций над численными значениями входных данных. Эти методы были известны давно: в качестве примера, уже ставшего классическим, можно привести открытие Леверье в 1846 г. новой планеты Нептун. Однако для решения задач численные методы применялись довольно редко, так как их использование предполагает выполнение гигантского объема вычислений. Поэтому в большинстве случаев до появления ЭВМ приходилось избегать использования сложных математических моделей и исследовать явления в простейших ситуациях, когда возможно найти аналитическое решение. Несовершенство вычислительного аппарата становилось фактором, сдерживающим широкое использование математических моделей в науке и технике.

Появление ЭВМ кардинально изменило ситуацию. Класс математических моделей, допускающих подробное исследование, резко расширился. Решение многих, еще недавно недоступных, вычислительных задач стало обыденной реальностью.

3. Проверка качества модели на практике и модификация модели.

На этом этапе выясняют пригодность математической модели для описания исследуемого явления. Теоретические выводы и конкретные результаты, вытекающие из гипотетической математической модели, сопоставляют с экспериментальными данными. Если они противоречат друг другу, то выбранная модель непригодна и ее следует пересмотреть, вернувшись к первому этапу. Если же результаты совпадают с допустимой для описания данного явления точностью, то модель

можно признать пригодной. Конечно, необходимо дополнительное исследование с целью установления степени достоверности модели и границ ее применимости.

На определенном этапе развития науки и техники постепенное накопление знаний приводит к моменту, когда результаты, получаемые с помощью математической модели, вступают в противоречие с данными практики или перестают удовлетворять ее требованиям в смысле точности. Тогда возникает необходимость модификации модели или же создания принципиально новой, более сложной модели. Таким образом, цикл создания математической модели повторяется многократно.

Пример 1.7. Рассмотрим задачу внешней баллистики, т.е. задачу о движении артиллерийского снаряда. Простейшая модель (1.1), дает параболическую траекторию движения снаряда, что, как было замечено еще в XVII в., противоречит данным практики. Существенным неучтенным фактором здесь является сопротивление воздуха.

Приведенная ниже модификация модели Галилея принадлежит И. Ньютону. Известно, что величина силы лобового сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости, т.е. При этом где плотность воздуха, площадь поперечного сечения, С — коэффициент лобового сопротивления (для многих задач баллистики С и 0.15).

Рис. 1.2

Обозначим через горизонтальную и вертикальную проекции вектора лобового сопротивления. Заметим, что (рис. 1.2). Следовательно

Пусть масса снаряда. Тогда в силу второго закона Ньютона справедливы уравнения

которые необходимо дополнить начальными условиями

Полученная модель является более сложной, чем рассмотренная ранее модель (1.1), (1.2), однако она содержит ее как частный случай. Действительно, в случае (сопротивление воздуха отсутствует) уравнения (1.4) — (1.6) и (1.1), (1-2) эквивалентны.

Естественно, что модель (1.4) — (1-6) непригодна для решения задач современной баллистики и реально используемые модели значительно сложнее.

Заметим, что работа по созданию математической модели, как правило, проводится объединенными усилиями специалистов, хорошо знающих предметную область, и математиков, владеющих соответствующими разделами прикладной математики и способных оценить возможность решения возникающих вычислительных задач.