Напомним основные формулы, относящиеся к функциям Эрмита. Полиномы Эрмита определяются формулой
и функции Эрмига
Они ортогональны на промежутке 
. Нормированные функции Эрмита будут:
Они образуют замкнутую ортонормированную систему. Докажем, что 
есть собственная функция оператора 
соответствующая собственному значению 
т. е.
Иначе говоря, нам надо доказать формулу
Интегрируем по частям и принимаем во внимание обращение в нуль внеинтегральных членов:
Умножаем вне знака интеграла на 
и под знаком на 
:
Дифференцируя по параметру у, легко показать, что последний интеграл равен 
и, таким образом, формула (155) доказана. Учитывая замкнутость системы функций Эрмита, можно показать, что точки 
исчерпывают весь спектр оператора Т.
которым соответствует замкнутая ортонормированная на промежутке 
система собственных функций, а именно это суть функции Эрмита 
