7. Полиномы Эрмита

Пусть Тогда и по формуле (3.5) получим

Выберем Тогда

Определение. Классические ортогональные полиномы, заданные на прямой и ортогональные на ней с весом называются полиномами Эрмита.

Для полиномов Эрмита нормировочный коэффициент обычно принимают равным

Тогда формула Родрига (3.16) дает следующее явное выражение полиномов Эрмита:

Выпишем сразу несколько первых полиномов Эрмита:

Из формулы (3.11) получается уравнение для полиномов Эрмита. Краевая задача для них формулируется следующим образом.

Найти значения параметра , при которых уравнение Эрмита

имеет нетривиальные решения, квадратично интегрируемые с весом на прямой

Формула (3.13) дает выражение для собственного значения:

В случае полиномов Эрмита, определенных на бесконечном интервале нельзя, как и в случае полиномов Лагерра, использовать для доказательства полноты теорему Вейерштрасса. Следовательно, нельзя утверждать, опираясь на свойство полноты, что система полиномов Эрмита замкнута. Докажем непосредственно замкнутость системы полиномов Эрмита. Напомним, что аналогично можно доказать замкнутость системы полиномов Лагерра. Имеет место следующая теорема.

Теорема 4.4. Система полиномов Эрмита замкнута, т. е. функция непрерывная и квадратично интегрируемая с весом на всей бесконечной прямой ортогональная с весом всем полиномам Эрмита на тождественно равна нулю.

Доказательство. Рассмотрим функцию По условию теоремы функция квадратично интегрируема на интервале с весом Тем более функция квадратично интегрируема с весом на интервале Известно, что если функция квадратично интегрируема на интервале то для нее существует преобразование Фурье :

Функция аналитична в полосе произвольной ширины и ее производные можно вычислять, дифференцируя под знаком интеграла:

Так как функция аналитична в полосе то в принадлежащем этой полосе круге с центром в точке и радиусом функцию можно разложить в степенной ряд

Все коэффициенты этого ряда равны нулю:

поскольку по условию теоремы

Итак, всюду в круге функция тождественно равна нулю. По теореме единственности аналитической функции отсюда следует, что всюду в полосе функция тождественно равна нулю.

Применяя обратное преобразование Фурье, получим

Итак, функция

Из доказанной теоремы и ортогональности полиномов Эрмита вытекает

Следствие. Система полиномов Эрмита исчерпывает все собственные функции краевой задачи Штурма-Лиувилля (3.41).

Для вычисления квадрата нормы полиномов Эрмита учтем, что в силу формулы Родрига (3.40) коэффициент Отсюда по формуле (3.17)

Получим выражение для производящей функции полиномов Эрмита. Уравнение (3.22) принимает вид

откуда

Отсюда по формуле (3.23) получаем

и

Делая в последней формуле замену на получим окончательное выражение для производящей функции