74. Параметрическое задание кривой.

При отыскании уравнения геометрического места по данному его свойству не всегда бывает удобно или возможно выразить это свойство непосредственно в виде уравнения, связывающего текущие координаты х, у. В таком случае бывает полезно ввести третью, вспомогательную переменную величину, через которую можно выразить отдельно абсциссу х и ординату у любой точки геометрического места.

Совокупность двух полученных таким путем уравнений

также может служить для построения и исследования кривой, так как при каждом значении t она определяет положение соответствующей точки кривой.

Такой способ задания кривой называется параметрическим, вспомогательная же переменная t — параметром. Для получения Уравнения кривой в обычном (явном или неявном) виде как зависимости, связывающей х и у, нужно из двух уравнений (9) исключить параметр t, что можно сделать, хотя бы решив одно из этих Уравнений относительно t и подставив полученный результат в другое.

С параметрическим заданием кривых особенно часто приходится иметь дело в механике, при исследовании траектории движущейся точки, положение которой зависит от времени , а потому и координаты суть функции от t. Определив эти функции, мы и получим параметрическое задание траектории.

Так, например, параметрическое уравнение окружности с центром в точке и радиусом будет

Перепишем эти уравнения:

Возводя обе части в квадрат и складывая, исключим парамегр t и получим обычное уравнение окружности

Точно так же непосредственно ясно, что

есть параметрическое уравнение эллипса

Положим, что у, как функция от , определена параметрически формулами (9).

Приращение параметра вызовет соответствующие приращения и мы получим, деля числитель и знаменатель дроби на следующее выражение для производной от у до

или

Составим вторую производную от у по х:

Применяя правило нахождения дифференциала частного, получим [50]

Но, в силу (9),

Подставляя это в (13) и сокращая на получим окончательно

Заметим, что выражение по формуле (13) отличается от выражения той же производной по формуле (3) из

потому что это последняя формула выведена лишь в том предположении, что есть независимая переменная, а при параметрическом представлении (9) независимой переменной является t. Если х есть независимая переменная, то dx считается уже постоянным [50], т. е. не зависящим от как дифференциал постоянной. При этом формула (13) переходит в (15).

Имея возможность определить у и мы тем самым можем решить вопрос о направлении касательной к кривой, о выпуклости и вогнутости кривой и т. д.

В качестве примера рассмотрим кривую, заданную уравнением

и называемую «листом Декарта».

Введем переменный параметр t, полагая

и рассмотрим точки пересечения прямой (17) с переменным угловым коэффициентом t и кривой (16). Подставляя в уравнение (16) выражение у из уравнения (17) и сокращая на , получим

а уравнение (17) даст нам тогда

Эти уравнения дают параметрическую форму представления листа Декарта. Определим производные от х и у по

Для исследования изменения х и у разобьем весь промежуток изменения t на такие отдельные части, внутри которых производные сохраняют неизменный знак и не обращаются в бесконечность. Для этого нам придется отметить значения:

при которых эти производные обращаются в нуль или бесконечность. Знаки внутри этих промежутков определятся без труда по формулам (18); вычислив значения х и у на концах промежутков, мы получим, таким образом, приведенную ниже таблицу.

В соответствии с этой схемой мы получим кривую, изображенную на рис. 85.

Рис. 85.

Для вычисления углового коэффициента касательной имеем формулу

Обратим внимание на то, что обращаются в нуль при и кривая, как это видно из чертежа, пересекает сама себя в начале координат.

Формула (19) дает нам

т. е. две ветви кривой, взаимно пересекающиеся в начале координат, касаются — одна оси ОХ и другая оси

При стремлении t к и у стремятся к бесконечности, и кривая имеет бесконечную ветвь. Определим асимптоту:

угловой коэффициент асимптоты равен ,

т. e. уравнение асимптоты будет