9. Общий случай систем уравнений.

Рассмотрим общий случай уравнений с неизвестными:

Для краткости в дальнейших выкладках мы обозначили через всю левую часть уравнения с номером s. Коэффициенты этой системы образуют прямоугольную таблицу, и пусть k — ее ранг. Переставляя строки и столбцы, т. е. переменяя нумерацию уравнений и неизвестных, мы можем достигнуть того, чтобы некоторый определитель порядка входящий в таблицу и отличный от нуля, стоял в левом верхнем углу. Назовем его главным определителем системы. Он будет иметь вид:

Составам определителей порядка которые называются характеристическими определителями системы и которые получаются из главного определителя, если к нему добавить одну строку, состоящую из коэффициентов уравнений с номером, большим чем k, и один столбец, состоящий из свободных членов.

Уточняя сказанное, определим эти характеристические определители следующими формулами:

Если , т. e. ранг равен числу уравнений, то характеристических определителей вовсе не будет. Рассмотрим наряду с характеристическими определителями другие определители, которые получаются из них заменой в последнем столбце свободных членов левыми частями уравнений:

Эти последние определители, кроме заданных коэффициентов содержат Но нетрудно показать, что определители (9) тождественно равны нулю. Действительно, элементы последнего столбца этих определителей в силу

состоят из n слагаемых и, следовательно, всякий определитель (9) может быть представлен, согласно свойству IV из [3], в виде суммы членов следующей формы:

Легко убедиться, что определитель, стоящий множителем при равен нулю. Действительно, если , то последний столбец этого определителя совпадает с одним из предыдущих. Если же то упомянутый определитель есть определитель порядка входящий в таблицу (5), и, следовательно, он равен нулю, так как по предположению ранг этой таблицы равен k.

Вычитая определители (9), равные тождественно нулю, из характеристических определителей и пользуясь свойством IV определителей, мы можем представить характеристические определители в следующем виде:

причем в этой форме они лишь по виду зависят от букв х. Предположим теперь, что наша система (6) имеет некоторое решение:

Подставляя в последний столбец определителей (10), мы будем иметь в этом последнем столбце нули, т. е. все характеристические определители должны равняться нулю.

Теорема I. Для того чтобы система (6) имела хоть одно решение, необходимо, чтобы все характеристические определители (8) были равны нулю.

Докажем теперь достаточность этого условия и дадим способ нахождения всех решений системы. Итак, предположим, что все характеристические определители равны нулю. Возьмем их в форме (10) и разложим по элементам последнего столбца. Нетрудно видеть, что алгебраическое дополнение элемента будет равно главному определителю А, отличному от нуля, и мы можем записать наше условие, что все характеристические определители равны нулю, в виде:

где — численные коэффициенты, не представляющие для нас никакого интереса.

Положим теперь, что мы имеем какое-нибудь решение первых k уравнений системы, и подставим мысленно это решение вместо в тождества (11). При этом все разности

обратятся в нуль, и мы получим после указанной подстановки

или в силу

т. e. оказывается, что если все характеристические определители равны нулю, то всякое решение первых k уравнений системы будет удовлетворять и всем следующим уравнениям, и нам остается в этом случае решить только первые k уравнений.

Перенесем в этих уравнениях все неизвестные с номером, большим в правую часть, после чего эти уравнения примут вид:

Будем рассматривать эти уравнения как систему для определения . Ее определитель А уже отличен от нуля, и мы можем получить для нее одно определенное решение согласно формуле Крамера. Заметим только, что свободные члены последней системы содержат буквы которым можно придавать любые значения. Из формул Крамера непосредственно вытекает, что решение системы (12) будет иметь вид:

где — некоторые численные коэффициенты и остаются произвольными. Из предыдущего вытекает, что эти формулы и дают самое общее решение системы (6) при сделанном предположении о равенстве нулю всех характеристических определителей.

Теорема II. Если все характеристические определители системы равны нулю, то достаточно решить лишь те уравнения системы, которые содержат главный определитель относительно тех неизвестных, коэффициенты которых и составляют этот главный определитель. Это решение может быть произведено по формулам Крамера и дает выражение для k неизвестных (где k — ранг таблицы коэффициентов) в виде линейных функций (13) остальных неизвестных, значения которых остаются совершенно произвольными. Таким образом получаются все решения системы (6).

Сравнивая теоремы I и II, приходим к выводу:

Теорема III. Необходимым и достаточным условием существования решений системы (6) является равенство нулю всех характеристических определителей этой системы.

Заметим, что если т. е. если ранг равен числу неизвестных, то формулы (13) вовсе не содержат в правых частях и все неизвестные от до вполне определяются.

Теорема IV. Для того чтобы система имела одно определенное решение, необходимо и достаточно, чтобы все характеристические определители были равны нулю и чтобы ранг таблицы ее коэффициентов был равен числу неизвестных.

Заметим, что все предыдущие рассуждения годятся, очевидно, и для того случая, когда число уравнений равно числу неизвестных, т. е. когда .

Пример. Рассмотрим систему четырех уравнений с тремя неизвестными

Напишем таблицу ее коэффициентов:

Нетрудно убедиться, что все определители третьего порядка, входящие в эту таблицу, равны нулю, и что определитель второго порядка, стоящий в левом верхнем углу, отличен от нуля. Таким образом его можно принять за главный определитель, и ранг системы равен двум. Составляем характеристические определители. Их будет в данном случае два:

Оба они равны нулю, и, следовательно, данная система совместна. Поэтому достаточно решить первые два уравнения относительно х и у, перенося z направо:

Решение получится в виде:

причем z — произвольно.