42. Приведение унитарных матриц к диагональной форме.

Унитарные матрицы в отношении приведения к диагональной форме обладают свойством, совершенно аналогичным эрмитовским матрицам, а именно: если V есть некоторая унитарная матрица, то всегда можно найти такую унитарную матрицу что матрица

будет диагональной матрицей. Мы можем записать нашу задачу в следующем виде:

где -искомая унитарная матрица и — искомые числа.

Как и раньше для эрмитовской матрицы, столбцам матрицы U будут соответствовать некоторые векторы и эти векторы должны быть решениями уравнения

где совпадают с числами Отсюда, как и выше, непосредственно следует, что эти числа X должны быть корнями характеристического уравнения

где элементы матрицы V.

Заметим прежде всего, что если матрицы унитарны, то и матрица будет унитарной. Действительно, из унитарности следует унитарность и произведение унитарных матриц есть также унитарная матрица.

Возьмем корень уравнения (194) и, подставив его вместо в уравнение (193), определим единичный вектор удовлетворяющий этому уравнению, примем этот вектор за новый орт и присоединим к нему еще единичных векторов так, чтобы получить единичных взаимно ортогональных векторов. Переход от прежних ортов к новым будет равносилен некоторому унитарному преобразованию и наша унитарная матрица V перейдет в подобную

Соответствующее уравнение

будет иметь, при в качестве решения вектор с составляющими откуда будет, как и раньше, непосредственно следовать, что элементы первого столбца матрицы равны все нулю, кроме первого элемента, который равен . Но поскольку в унитарной матрице сумма квадратов модулей элементов каждого столбца равна единице, мы можем утверждать, что число X! по модулю равно единице. Напомним теперь, что в унитарной матрице и сумма квадратов модулей элементов каждой строки также равна единице. Но, как только что показано, первый элемент первой строки равен по модулю единице, и, следовательно, остальные элементы этой строки должны равняться нулю. Итак, в результате первого унитарного преобразования мы привели нашу унитарную матрицу к такому виду, что в ее первой строке и первом столбце все элементы равны нулю, кроме первого:

Совершенно аналогичное обстоятельство мы имели выше для эрмитовских матриц. Далее, элементы образуют унитарную матрицу порядка Применяя еще унитарное преобразование, мы сможем и в этой матрице получить нули в первой строке и столбце, кроме первого элемента, который по модулю будет равен единице. В окончательном счете, в результате произведенных двух унитарных преобразований, наша унитарная матрица приведется к виду:

Продолжая наше рассуждение так же и дальше, мы приведем нашу унитарную матрицу при помощи некоторого унитарного преобразования к диагональной форме. Отмегим, что из предыдущих соображений непосредственно следует, что все характеристические числа унитарной матрицы будут по модулю равны единице.

Так же, как и в [41], можно показать, что если некоторые унитарные матрицы попарно коммутируют, то их можно при помощи одного и того же унитарного преобразования привести к диагональной форме.

Отметим еще следующий факт. Пусть унитарная матрица U приводит некоторую матрицу А к диагональной форме, т. е. пусть есть диагональная матрица. Как известно, модуль определителя U равен единице, и мы можем подобрать вещественное число так, чтобы определитель унитарной матрицы равнялся единице. При этом унитарная матрица также будет приводить А к диагональной форме, ибо

Таким образом, всегда можно считать, что определитель унитарной матрицы приводящей некоторую матрицу к диагональной форме, равен единице.

Пример Рассмотрим в качестве примера приведение к диаюнальной форме некоторой вещественной ортогональной матрицы третьего порядка

Будем считать, что определитель этой матрицы равен так что этой матрице соответствует некоторое движение трехмерного пространства, как целого, вокруг начала. Характеристическое уравнение для матрицы (195) будет по условию иметь свободный член, равный единице, ибо этот свободный член совпадает, очевидно, с определителем матрицы. С другой стороны, мы видели, что все корни нашего характеристического уравнения должны иметь модуль, равный единице. Старший член характеристического уравнения будет и, следовательно, свободный член уравнения — единица — будет равняться просто произведению корней этого уравнения. Поскольку это уравнение имеет вещественные коэффициенты, возможны лишь два случая, а именно: или это уравнение имеет один корень, равный единице, а два других мнимые, сопряженные с модулем, равным единице, т. е. два других корня будут вида или уравнение будет иметь корень единица, и оба других корня будут равняться Второй случай является частным случаем первого при

Собственному значению соответствует вещественный вектор который должен являться решением уравнения

Иначе говоря, этот ректор не должен меняться при том повороте пространства, который определяется матрицей V.

Этот вектор, отвечающий вещественному значению будет вещественным вектором, и он будет определять, очевидно, ту ось, вокруг которой повернулось пространство (всякий поворот пространства вокруг начала равносилен вращению вокруг некоторой оси, проходящей через начало). Для определения составляющих этого вектора через элементы V перепишем уравнение (196) в виде:

или, поскольку матрица V вещественна и унитарна, мы можем написать:

Вычитая это из (196), будем иметь:

Напишем это равенство в раскрытом виде, причем составляющие вектора обозначим через Получим систему уравнений:

и из нее непосредственно следуют формулы, определяющие направление оси вращения:

Два других собственных вектора должны, очевидно, удовлетворять уравнениям

и это будут уже векторы с комплексными составляющими. Мы сможем определить из того условия, что сумма корней характеристического уравнения равна, очевидно, сумме диагональных членов, т. е. следу матрицы V:

причем можно считать, что лежит между Оите.

Из уравнений (197) следует, что составляющие вектора мы можем считать мнимыми сопряженными, поскольку значения X в уравнениях (197) суть мнимые сопряженные числа. Составим новую унитарную матрицу:

Нетрудно убедиться непосредственно, что элементы столбцов матрицы будут равны составляющим векторов

т. e. будут вещественны. Кроме того, матрица W, как произведение двух унитарных матриц, также будет унитарной матрицей, т. е. W будет ортогональной матрицей. Применим теперь к матрице V преобразование подобия, пользуясь унитарной вещественной матрицей W. Мы получим:

Производя фактически перемножение матриц, получим:

Мы можем всегда считать, что определитель ортогональной матрицы W равен ибо в противном случае мы могли бы умножить эту матрицу на от чего соотношение (199) не изменилось бы. Таким образом, матрице W будет соответствовать также некоторое движение трехмерного пространства. Матрица (199), полученная в результате преобразования координат подобна матрице V и дает в новых координатах то же преобразование, которое первоначальная матрица V давала в прежних координатах. Из вида матрицы (199) непосредственно следует, что этой матрице (199) соответствует вращение вокруг новой оси на угол и сущность нашего преобразования сводится к тому, что мы приняли за ось упомянутую выше, ось вращения, изображаемую вектором

Из предыдущего непосредственно вытекает еще одно важное обстоятельство, а именно: все вещественные матрицы, которым соответствует поворот пространства на некоторый определенный угол могут быть приведены при помощи преобразования подобия (различного для различных матриц) к одному и тому же виду (199), и, следовательно, все такие матрицы будут подобны между собой.

Матрицы, соответствующие различным углам вращения, не могут быть между собой подобны, так как характеристические числа таких матриц будут наверно различны между собой при различных значениях угла Все эти свойства имеют очень простое геометрическое значение.