18. Функциональные определители.

Пусть имеются функций от переменных

Функциональным определителем от этих функций по переменным называется определитель порядка, элементы которого вычисляются по формулам: Введем специальное обозначение для функционального определителя:

Мы встречались уже раньше с такими определителями при замене переменных в крагных интегралах [II, 63 и 80]. Если мы имеем замену переменных на плоскости

при которой точка переходит в точку (х, у), то абсолютное значение функционального определителя

дает коэффициент изменения площади в данной точке при точечном преобразовании (61), причем мы считаем, что в той области, в которой применяется точечное преобразование (62), частные производные от функций (62) по и и v непрерывны, и определитель (63) в нуль не обращается. Аналогичным образом, если имеется точечное преобразование в трехмерном пространстве:

при котором точка с координатами переходит в точку (х, у, z), а объем (V) переходит в объем , то формула замены переменных в тройном интеграле имеет вид [II, 63]:

где

и |D| дает коэффициент изменения объема в данном месте при переходе от

Совершенно так же мы могли бы рассматривать одну функцию от одной независимой переменной как точечное преобразование на оси ОХу при котором точка с абсциссой переходит в новое положение с абсциссой и. При эгом, очевидно, абсолютное значение производной характеризует изменения линейного размера в данном месте. Все сказанное выше распространяется и на случай точечного преобразования в -мерном пространстве и при замене переменных в -кратном интеграле

Выясненная на случаях двух и трех измерений аналогия между функциональным определителем и производной имеет своим следствием и некоторую аналогию между их формальными свойствами, которую мы сейчас и покажем.

Пусть имеется система функций

и положим, что у не суть независимые переменные, а сами функции от так что в конечном счете функции будут функциями переменных Мы можем составить три функциональных определителя:

Элементы этих функциональных определителей будут соответственно

Но по правилу дифференцирования сложных функций мы имеем:

и применяя теорему об умножении определителей по схеме строка на столбец, получим равенство, выражающее первое свойство функционального определителя:

Это равенство аналогично правилу дифференцирования сложных функций одной независимой переменной.

Выясним еще одно свойство функциональных определителей. Систему функций можно рассматривать как преобразование от переменных к новым переменным

Отметим сначала один частный случай, а именно случай так называемого тождественного преобразования:

Его функциональный определитель будет

Представим себе, что уравнения (65) решены относительно так, что выражены через

Преобразование (66) естественно назвать обратным преобразованию (65). Если подставить выражения (66) в правые части равенств (65), то получим тождества или, иначе говоря, получим тождественное преобразование. Применим теперь к этому частному случаю формулу (64), причем нам надо будет считать а в левой части формулы (64) мы получим функциональный определитель тождественного преобразования:

или

т. e. произведение функциональных определителей прямого и обратного преобразований равно единице. Это свойство аналогично свойству производной обратной функции для случая одного независимого переменного.

Выясним теперь смысл того условия, что функциональный определитель

от функций по переменным тождественно равен нулю. Положим, что эти функции связаны функциональной зависимостью:

причем это равенство есть тождество относительно независимых переменных Дифференцируя его по всем независимым переменным, получим тождеств:

Мы можем рассматривать написанные тождества как линейные уравнения относительно величин:

причем, очевидно, величины эти не могут одновременно равняться нулю тождественно, так как в противном случае F не содержало бы ни одной из функций Таким образом, определитель однородной системы (70) должен равняться нулю, что и сводится к тому, что функциональный определитель (68) равен нулю. Итак, из наличия функциональной зависимости (69) вытекает тождественное равенство нулю функционального определителя (68). Можно доказать и обратное предложение, на чем мы останавливаться не будем, т. е. тождественное равенство нулю функционального определителя (68) является необходимым и достаточным условием зависимости между функциями

Рассмотрим в качестве примера три функции от трех независимых переменных

Нетрудно проверить, что между ними существует следующая зависимость:

Составим для системы функций (71) функциональный определитель:

Предоставляем читателю показать, что этот определитель обращается тождественно в нуль.