71. Уравнение Лапласа и линейные представления группы вращения.

Выясним сейчас связь между линейными представлениями групп и дифференциальными уравнениями. Эта связь лежит в основе применения линейных представлений к вопросам современной физики. Мы начнем с наиболее простого случая уравнения Лапласа [II, 202], который не дасг нам ничего нового и послужит лишь к выяснению общего вопроса. Предварительно установим некоторые общие факты, которые играют большую роль в вопросах линейных представлений групп и которые в частных случаях уже известны нам из предыдущих примеров.

Пусть группа G, линейное представление которой строится, есть группа линейных преобразований порядка :

где значок а, характеризующий элемент группы G, пробегает конечную или бесконечную совокупность значений. Положим далее, что существует функций

таких, что при замене независимых переменных по формулам (107) эти функции испытывают также некоторое линейное преобразование

Мы имеем здесь матрицу с элементами а), соответствующую преобразованию (107) группы G. Рассмотрим два преобразования группы

Соответствующее преобразование функций (108) будет:

и

Подставляя в вместо их выражения , будем иметь непосредственную зависимость через дающую матрицу Мы получим таким образом

и формулы (109) определяют, очевидно, некоторое линейное представление порядка для группы G. В предыдущих рассуждениях мы считали, что функции линейно-независимы. При этом линейные преобразования (109) определяются вполне однозначно и ибо в противном случае были бы связаны линейной зависимостью.

В частном случае, при построении линейных представлений унитарной группы, роль функций играли функции .

Положим, что О есть группа вращения трехмерного пространства, так что и положим, что функции ортогональны и нормированы в некотором шаре К с центром в начале, т. е.

Покажем, что при этом линейное представление (109) группы вращения будет унитарным. Действительно, в результате вращения сфера К перейдет в себя, и определитель как известно, равен единице. Условие (111) дает нам:

или в силу (109):

Переходя к переменным мы должны будем, согласно правилу замены переменных в тройном интеграле, заменить просто на и затем интегрировать по тому же самому шару . В силу условий (111) мы получим:

где, как всегда, при т. е. каждая из матриц А обладает в данном случае свойством ортогональности по строкам, так что транспонированная матрица будет обладать ортогональностью по столбцам, а следовательно [28], и по строкам, т. е. основная матрица будет обладать ортогональностью и по строкам и по столбцам, или, иначе говоря, матрица будет действительно унитарной матрицей для любого значка а.

Рассмотрим теперь уравнение Лапласа с двумя переменными

или, пользуясь векторными обозначениями,

Возьмем однородный полином от х и у степени

Покажем, что существуют два линейно-независимых полинома вида (114), которые являются решением уравнения (112), и всякое решение уравнения (112), представляющееся однородным полиномом степени должно бьпь линейной комбинацией этих двух полиномов с постоянными коэффициентами.

Действительно, коэффициенты полинома (114) выражаются по формулам

Но раз этот полином должен удовлетворять уравнению (112), то мы можем двукратное дифференцирование по у заменить двукратным дифференцированием по при одновременном изменении знака, так как уравнение (112) можно переписать в виде:

Таким образом, мы получим для коэффициентов выражения следующего вида:

т. е. все коэффициенты полинома (114) выразятся через коэффициенты Это рассуждение показывает нам, что существует не больше двух линейно-независимых однородных полиномов, удовлетворяющих уравнению (112). Покажем теперь, что такие два различных полинома действительно существуют. Рассмотрим для этого однородный полином

Раскрывая скобки и отделяя вещественную и мнимую части, получим:

где полиномы вещественные однородные полиномы степени линейно-независимые друг от друга. Дифференцируя получим:

удовлетворяет уравнению (112). То же самое, следовательно, можно сказать и о вещественной и мнимой части этого выражения, т. е. полиномы и дают нам два искомых решения уравнения (112). Введем полярные координаты

откуда

При этом полиномы и примут очень простой вид:

Повернем плоскость XY вокруг начала на некоторый угол b:

Нетрудно видеть, что при этом уравнение (112) останется инвариантным, т. е., точнее говоря, в новых переменных уравнение будет выглядеть совершенно так же:

Это можно непосредственно проверить, пользуясь формулами (115) и правилом дифференцирования сложных функций. Кроме того, указанное обстоятельство непосредственно вытекает из того, что левая часть уравнения (113) имеет определенное значение, не зависящее от выбора осей и, следовательно, имеет одну и ту же форму при любом выборе прямолинейных прямоугольных осей. Полиномы должны удовлетворять уравнению (116), а следовательно, и уравнению (112), а потому они должны линейно выражаться через . Это и дает нам линейное представление группы вращения плоскости.

Вместо указанных двух полиномов возьмем два других полинома, которые являются их линейными комбинациями:

или

Эти полиномы испытывают следующее преобразование:

т. е. преобразованию (115) соответствует в линейном представлении матрица

где угол может иметь любое значение. Из вида матриц непосредственно вытекает, что это линейное представление имеет приведенную форму. Оно дает два линейных представления первого порядка, определяемых числами . Во всех предыдущих рассуждениях целое число I могло иметь любое значение. Мы получили таким образом те же самые линейные представления группы вращения плоскости, которые мы имели и раньше в [69].

Перейдем теперь к уравнению Лапласа с тремя переменными

или

Рассмотрим и здесь однородные полиномы степени I с тремя переменными

где однородный полином степени k своих аргументов. Каждый такой полином содержит произвольных коэффициентов, так что в общем однородный полином степени с тремя переменными будет содержать следующее число произвольных коэффициентов:

Подставляя выражение (119) в уравнение (117), получим слева однородный полином степени и, приравнивая его коэффициенты нулю, получим однородных уравнений с не известными коэффициентами полинома . Мы имеем:

следовательно, по крайней мере коэффициентов в полиноме останутся произвольными, т. е. будет существовать по крайней мере линейно-независимых однородных полиномов степени удовлетворяющих уравнению (117). Пользуясь тем же методом, и для двух переменных можно показав, что их будет и не больше, чем , т. е. их будет в точности Обозначим эти полиномы через

Если

есть некоторое вращение трехмерного пространства вокруг начала, то при этом уравнение (117) остается инвариантным, и полиномы дают некоторое линейное представление группы вращения трехмерного пространства, порядка

В дальнейшем мы подробно изложим теорию этих гармонических полиномов и выведем для них явные выражения. Мы увидим, что их всегда можно выбрать так, что они будут ортогональными и нормированными в любой сфере с центром в начале. При этом доставляемое ими линейное представление группы вращения будет унитарным. Можно показать, что это и будет как раз линейное представление, эквивалентное представлению которое мы построили в [69] Позже мы вернемся к этому вопросу.