72. Прямое произведение матриц.

Пусть имеются две матрицы

первая — порядка и вторая — порядка . Составим новую матрицу С с элементами которые получаются от перемножения каждого элемента матрицы А на каждый элемент матрицы В:

В данном случае роль первого значка играет совокупность двух аелых чисел а роль второго значка — совокупность целых чисел причем я;

Иными словами, мы имеем здесь особый способ наименования строк и столбцов, а именно: строки и столбцы именуются совокупностью двух целых чисел, причем первое число принимает значение от 1 до , а второе — от 1 до . Мы можем, конечно, перенумеровать строки и столбцы обычным образом, т. е. простыми целыми числами, которые идут до причем каждой паре чисел или определенное целое число при новой нумерации, и если эти пары одинаковы, то и соответствующие целые числа одинаковы. Эту нумерацию простыми целыми числами можно делать различным способом. При переходе от одного способа к другому дело сведется к некоторой перестановке одновременно строк и столбцов, т. е. к переходу к подобной матрице, что в дальнейшем не будет иметь никакого значения.

Матрица С называется прямым произведением матриц А и В, и бозначается это обычно следующим образом:

Порядок множителей в этом последнем произведении нового типа не играет никакой роли.

Положим, например, что обе матрицы (120) будут матрицами второго порядка. В этом случае их прямое произведение будет матрицей четвертого порядка, которую мы можем написать, например, в следующем виде:

или, иначе, одновременно переставляя строки и столбцы.

Положим, что А и В суть диагональные матрицы

В этом случае при и, следовательно, согласно отлично от нуля только, если пара чисел совпадает с парой чисел (k, l), т. е. если матрица С также будет диагональной. На ее главной диагонали будут стоять всевозможные произведения чисел на числа Если все и все равны единице, то С будет также единичной матрицей. Мы имеем, таким образом, следующую теорему:

Теорема I. Прямое произведение двух диагональных мащриц есть диагональная матрица, и прямое произведение двух единичных матриц есть единичная матрица.

Докажем также следующую георему:

Теорема II. Если — две матрицы одного и того же порядка — две матрицы также одного и того же порядка , то имеет место формула:

Заметим, что когда мы пишем две матрицы одного и того же порядка рядом, без всякого знака, то это, как всегда, обозначает обычное произведение этих двух матриц. Обозначая элементы матриц соответствующими малыми буквами с двумя значками внизу, мы имеем, согласно определению прямого произведения:

и, пользуясь правилом обычного умножения матриц, получим для элементов левой части равенства (123) следующие формулы:

Покажем, что те же формулы получаются и для элементов правой части. Мы имеем по определению обычного умножения:

и, по определению прямого произведения:

что и совпадает с (124). Перейдем теперь к доказательству последней теоремы о прямом произведении.

Теорема III. Если матрицы А и В унитарны, то и их прямое произведение также есть унитарная матрица.

По условию теоремы мы имеем:

Проверим для матрицы С условия ортогональности и нормальности по столбцам и обозначим:

т. е. в силу (121):

Если пары чисел различны, то хоть один из множителей, стоящих в правой части (126), будетравен нулю, а если эти пары совпадают, оба множителя равны единице в силу (125). Таким образом, равно нулю, если упомянутые пары не совпадают, и равно единице, если эти пары совпадают, что и доказывает нашу теорему.

Мы можем, очевидно, прямое произведение двух матриц умножить еще, в смысле прямого произведения, на третью матрицу и получить прямое произведение трех матриц

Удерживая прежнее обозначение, мы будем иметь для элементов этой новой матрицы следующие выражения:

Аналогичным образом составляется прямое произведение любого конечного числа матриц, причем это прямое произведение представляет собою матрицу, порядок которой равен произведению порядков перемножаемых матриц. Последовательность множителей не играет роли.