90. Свойство ортогональности. Примеры.

Свойство правой и левой инвариантности интеграла аналогично в случае конечных групп тому свойству, что при переменном элементе и фиксированном элементе произведение или пробегает по одному разу все элементы группы. Этим свойством мы пользовались при доказательстве того, что всякое представление группы эквивалентно унитарному представлению и при доказательстве свойств ортогональности. Пользуясь инвариантным интегралом, можно доказать аналогичные предложения и для компактных групп. Если — унитарные матрицы, дающие неприводимое линейное представление компактной группы — унитарные матрицы, дающие неэквивалентное неприводимое представление, то, обозначая, как всегда, двумя значками снизу элементы матриц, мы будем иметь следующие формулы, выражающие ортогональность неэквивалентных неприводимых унитарных представлений:

Для одного неприводимого представления получим

где — порядок матриц. Точно так же для характеров:

где и q — порядок матриц имеют место следующие свойства:

1. Перейдем к рассмотрению примеров. Пусть G — абелева группа вращения плоскости вокруг начала. и единственный параметр а дает величину угла поворота. Будем ечитать, что а принадлежит промежуток , причем концы этого промежутка отождествляются. Последовательные вращения на углы приводят к вращению на угол причем вычитая, если надо, мы должны привести эти суммы к указанному промежутку. В рассматриваемом случае функциональные определители сводятся к производной от а по или а, равной единице, так что и Мы знаем, что группа Q имеет неприводимые унитарные представления первого порядка и формулы (357) и (358) дают известные формулы:

Отметим, что в силу необходимости приведения суммы к промежутку мы имеем некоторую особенность в непрерывности и определении производных этой суммы в тех случаях, когда для лежащих внутри промежутка , сумма оказывается равной

Рассмотрим группу вращения трехмерного пространства и применим параметры, несколько отличные от тех, о которых мы говорили в [84]. Пусть пространство повернулось на угол вокруг оси, которая образует углы с осями координат X, Y и Z.

Введем четыре параметра:

Они связаны соотношением

Единичному преобразованию соответствуют значения Мы можем принять за параметры. При этом считается их функцией.

Если произвести последовательно вращения, определяемые параметрами то параметры результирующего вращения си определятся, как нетрудно проверить, формулами:

Считая функцией , получим, в силу (277):

откуда для Е. Пользуясь этим, мы можем легко составить функциональный определитель при

Инвариантный интеграл имеет вид:

Область V есть сфера с центром в начале координат и радиусом единица. Отметим, что формулы (278) непосредственно получаются из правила умножения кватернионов

причем единицы i, j и k подчиняются следующему закону умножения:

Нетрудно установить связь между параметрами и углами Эйлера , Приведем соответствующие формулы:

Инвариантный интеграл в параметрах записывается при этом в виде:

причем . Отметим, что в интеграле (279) функция

обращается в бесконечность, если . Это связано с тем, что в формулах (276) для вместо со стоит . Отметим в связи с этим, что те свойства, о которых говорилось в [89] в связи с определением компактности, должны быть выполнены лишь при некотором выборе параметров. При перемене параметров эти свойства могут уже потеряться. Кроме того, для группы вращения трехмерного пространства будет иметь место особенность в непрерывности и определении производных, о которых мы уже упоминали в конце первого примера в связи с группой вращения плоскости вокруг начала.

Отметим еще, что совпадение инвариантных интегралов для группы вращения пространства может быть непосредственно связано с тем, что это — простая не абелева группа.

3. Легко непосредственным вычислением проверить совладение левоинвариантного и правоинвариантного интеграла для группы Лоренца, которая, как мы видели, гомоморфна группе линейных преобразований с определителем единица:

Единичному элементу соответствуют значения Можно считать функцией и принять за параметры вещественные и мнимые части величин Групповая операция сводится к умножению матриц второго порядка, и мы имеем:

Если положить то параметрами группы будут Полагая далее мы для определения инвариантного интеграла должны вычислить функциональные определители:

или

причем несуществен тот факт, что а не нулю для тождественного преобразования группы. В обоих случаях мы получаем один и тот же инвариантный интеграл:

Область Кесть полное шестимерное пространство. Совпадение инвариантных, интегралов связано с тем, что для группы (281) подгруппа G, образованная производящими элементами о которой мы говорили в [89], совпадает с самой группой. Нетрудно показать, действительно, что G не сводится к тождественному преобразованию или к нормальному делителю, образованному элементами . Фактическое вычисление плотности в инвариантном интеграле (283) можно просто провести на основании леммы, в которой используется понятие аналитической функции нескольких комплексных переменных (см. главу IV второй части этого тома).

Лемма. Пусть суть аналитические функции комплексных переменных При этом функциональный определитель функций по переменным рйвен квадрату модуля функционального определителя функций по по переменным .

Мы имеем (см. главы I и IV второй части этого тома)

и можем написать:

где

Добавляя к каждому нечетному столбцу четный, умноженный на , получим определитель:

Далее, отнимая от каждой четной стороны строки нечетную, умноженную на i, получим:

Вынося налево все нечетные столбцы и наверх все нечетные строки, «будем иметь:

откуда и следует

Переходим к вычислению функции и в инвариантном интеграле. Для этого, согласно лемме, надо вычислить функциональный определитель:

или

Из соотношения следует:

Далее имеем:

откуда и следует (283). Тот же результат мы получим и на основании формулы (284)