7. Прямоугольные таблицы.

В дальнейшем мы будем встречаться и с такими таблицами чисел, в которых число строк и столбцов может быть и неодинаково. Рассмотрим такую более общую таблицу:

Она содержит строк и столбцов, причем числа могут быть или различны, или равны. Вычеркивая из этой таблицы некоторые строки и столбцы так, чтобы число оставшихся строк и столбцов было одинаково, мы сможем из оставшихся строк и столбцов составить определитель. Такие определители назовей определителями, входящими в состав таблицы (42). Наивысший порядок, который могут иметь, равен, очевидно, наименьшему из двух чисел , а наименьший порядок этих определителей равен единице, причем определители первого порядка суть сами элементы таблицы (42). Положим, что все определители некоторого порядка входящие в таблицу, равны нулю. Нетрудно видеть, что тогда и все определители порядка входящие в таблицу, также равны нулю. Действительно, всякий такой определитель порядка можно представить в вйде суммы произведений элементов его некоторой строки на алгебраические дополнения этих элементов. Но последние с точностью до знака совпадают с некоторыми определителями порядка I таблицы, и, следовательно, все равны нулю. Раз все определители порядка равны нулю, то так же, как и выше, все определители порядка также будут равны нулю и т. д. Итак, если все определители некоторого определенного порядка, входящие в таблицу (42), равны нулю, то и все определители более высокого порядка этой таблицы также равны нулю.

Введем важное для дальнейшего понятие о ранге таблицы, или, как говорят, матрицы (42). Рангом матрицы (42) называется наивысший порядок определителя этой таблицы, отличного от нуля, т. е. если ранг таблицы есть то среди определителей порядка k, входящих в эту таблицу, есть по крайней мере один, отличный от нуля, но все определители таблицы порядка равны нулю.

Пусть наряду с таблицей (42) имеется таблица

содержащая строк и столбцов.

Образуем чисел

Квадратная таблица, составленная из чисел называется обычно произведением прямоугольных таблиц (42) и (43).

Докажем теорему, которая является обобщением теоремы об умножении определителей.

Теорема. Если то

где суммирование распространяется на все значения из ряда, чисел удовлетворяющие указанному неравенству. Если же то определитель равен нулю.

Смысл символов

указан в [3]. Второй из них обозначает определитель, составленный из элементов таблицы (43), принадлежащих строкам и столбцам . При сумма, входящая в формулу (45), содержит лишь одно слагаемое, соответствующее и формула (45) выражает теорему об умножении определителей.

Рассмотрим случай Доказательство формулы (45) будет аналогично доказательству теоремы об умножении определителей. Как и при этом доказательстве, мы имеем:

причем каждое из чисел может принимать значения , и можно отбросить те слагаемые, у которых среди чисел есть равные, так как эти слагаемые равны нулю. Возьмем какую-либо определенную последовательность чисел из ряда чисел и выделим из суммы (45) те слагаемые, у которых совокупность чисел совпадает с совокупностью чисел Мы получим таким образом часть суммы (46):

где сумма распространяется на всевозможные перестановки из чисел

Умножая каждое слагаемое суммы (47) дважды на Мы докажем совершенно так же, как и в [6], что эта сумма равна

Чтобы получить всю сумму, входящую в формулу (46), достаточно просуммировать это произведение по всем что и дает формулу (45). Положим, наконец, что Мы можем при этом добавить к таблице столбцов, состоящих из нулей, а к таблице строк, состоящих из нулей. Если после такого добавления мы будем вычислять не по формулам (44), а по формулам:

то получим прежние значения так как добавленные слагаемые в правой части (48) равны нулю. С другой стороны, после указанного добавления таблицы (42) и (43) превратились в квадратные таблицы, которым соответствуют определители, равные нулю, а потому, согласно теореме об умножении определителей, и определитель равен нулю, и теорема полностью доказана.

Замечание. Если две прямоугольные таблицы имеют каждая строк и столбцов, то, умножая строка на строку:

получим определитель величина которого равна нулю при а при выражается формулой:

Следствие. Пусть имеются две квадратные таблицы порядка составленные из элементов а числа определяются формулами (44). Выразим любой минор определителя через миноры определителей

Нетрудно видеть что квадратная таблица, которая образует минор является произведением прямоугольных таблиц:

Применяя доказанную теорему, мы и получим искомое выражение:

где принимают значения из ряда . Пусть ранги таблиц Если, например, и в формуле (49) мы возьмем любое то все будут, в силу определения RA, равны нулю, а потому и все С равны нулю. Отсюда следует, что т. е. Если Ранг таблицы равен , то, очевидно, ибо, Совершенно аналогично . В дальнейшем мы покажем, что если определитель , то а если то