24. Примеры афинных ортогональных тензоров.

В дальнейших примерах мы ограничим линейные преобразования координат лишь теми преобразованиями, которые были рассмотрены в [20] и которые соответствуют переходу от одной декартовой системы к другой. Такие преобразования называются обычно ортогональными преобразованиями трехмерного пространства. Для них, как мы видели выше, контраградиентное преобразование совпадает с А и исчезает разница ковариантного и контравариантного вектора. Точно так же для этих преобразований координат будем очевидно иметь одно только понятие тензора второго ранга. Обозначая таблицу коэффициентов ортогонального преобразования координат, как и выше, через получим для формулы преобразования тензора второго ранга следующую формулу:

которая непосредственно вытекает из формул предыдущего параграфа. Будем толковать элементы каждого столбца таблицы как составляющие некоторого вектора. Мы имели, таким образом, три вектора:

Будем говорить, что первый из них соответствует оси второй — оси и третий — оси . Сопоставим теперь любому направлению вектор согласно формуле

Возьмем теперь какие-нибудь декартовы оси вместо прежних и составим векторы согласно формуле (54), соответствующие направлениям ыовых координатных осей:

Рассматривая проекции этих векторов на новые координатные оси будем иметь таблицу девяти чисел аналогичную таблице . Покажем, что элементы новой таблицы выражаются через элементы таблицы как раз по формулам преобразования составляющих тензоров второго ранга. Действительно, рассмотрим, например, элемент . Согласно определению это есть составляющая вектора на новую ось . Формула (55) дает:

откуда видно, что есть линейная функция векторов и, чтобы получить достаточно в правой части формулы (56) заменить векторы их проекциями на ось , т. е. заменить эти векторы следующими выражениями: на . Заметим, кроме того, что, согласно таблице

Подставляя эти выражения вместо упомянутых векторов в правую часть формулы (56), будем иметь:

что как раз и совпадает с формулой (53).

Таким образом мы можем утверждать, что если для трех взаимно перпендикулярных направлений определены три вектора и по формуле (54) определен вектор для любого направления то таблица девяти чисел, дающих проекции векторов на оси в любой декартовой координатной системе, определяет афинный ортогональный тензор второго ранга, т. е. тензор второго ранга, определенный для всеввзможных ортогональных преобразований.

Заметим, что когда мы говорим, что соответствует направлению некоторой оси то это не значит, что должен иметь направление оси Существенным является лишь формула (54), которая сопоставляет всякому направлению вектор направление которого, вообще говоря, не совпадает с (n).

Приведем теперь два примера афинного ортогонального тензора второго ранга. Первый из этих примеров есть известный из теории упругости тензор напряжения. Рассмотрим деформированное упругое тело и проведем в некоторой фиксированной его точке М бесконечно малую площадку с нормалью (n). В теории упругости принимают, что воздействие на упомянутую площадку той части упругой среды, которая находится со стороны определяемой направлением нормали, будет равносильно произведению некоторого вектора зависящего от направления нормали (n), на величину площадки Из рассмотрения условий равновесия бесконечно малого тетраэдра, выделенного из упругого тела, получается равенство (54), из которого непосредственно вытекает, что напряжение есть тензор второго ранга. В любой декартовой координатной системе этот тензор будет характеризоваться таблицей девяти чисел причем, как доказывается в теории упругости, этот тензор будет симметричным, т. е. Иначе говоря, проекция на ось напряжения, действующего на площадку, перпендикулярную к оси равна проекции на ось напряжения, действующего на площадку, перпендикулярную к оси х.

Перейдем теперь к другому примеру тензора. Рассмотрим некоторое векторное поле Если выбрать некоторую декартову координатную систему и взять производные от составляющих поля по координатам, то мы получим следующую таблицу девяти величин:

Для любого направления определим вектор, соответствующий этому направлению, как производную так что элементы таблицы (57), находящиеся в столбце, будут давать составляющие вектора, соответствующего направлению оси Для любого направления будем иметь формулу [II; 120]:

т. е. определенная нами таблица представляет собою тензор второго ранга. Этот тензор не будет, вообще говоря, ни симметричным, ни антисимметричным. Но нетрудно его представить в виде суммы симметричного и антисимметричного тензора, понимая под суммой двух таблиц сумму соответствующих элементов этих таблиц.

Предварительно сделаем некоторые общие замечания. Из линейного характера формул (53) вытекает, что если будут два тензора, то сумма также будет тензором. Кроме того, эта же формула сохраняется при перестановке значков, т. е.

так что если некоторые таблицы, определенные для всех осей, дают тензор, то и транспонированные таблицы дают тензор. Положим теперь, что мы имеем некоторый тензор Мы можем представить его в виде суммы

Первое слагаемое представляет собою, очевидно, симметричный тензор, а второе — антисимметричный тензор.

Применяя это разбиение к тензору, определяемому таблицей (57), получим его симметричную часть в виде:

Если имеется деформация сплошной среды и МС есть вектор смещения, т. е. тот вектор, на который сместилась точка М среды, то таблица (58) определяет так называемый тензор деформации. Антисимметрическая часть тензора будет:

Мы уже раньше производили разбиение тензора на две части для частного случая линейной однородной деформации [II, 125] и видели, что в этом случае антисимметрической части соответствовало вращение пространства, как целого (без деформации), вокруг некоторой оси.