Если вещественные и мнимые части двух функций соответственно эквивалентны, то функции называются эквивалентными, и они, как элементы функционального пространства
отождествляются, т. е. элементом этого пространства является все множество эквивалентных функций и любая функция этого множества может быть представителем этого множества. Нулевой элемент
есть функция, эквивалентная нулю на
например, функция, тождественно равная нулю на
. В дальнейшем вместо
мы будем писать просю
Свойства функционального пространства 12 аналогичны свойствам
Элементы
можно умножать на комплексные числа и складывать
Скалярное произведение двух элементов
определяется формулой
и квадрат нормы элемента
формулой
Определение ортогональности — то же, что и для
и без изменения повторяются результаты [45]. Сходимость последовательности элементов
к элементу
определяется формулой
и повторяются без изменения определения и результаты [46] и [47], причем надо иметь в виду [II, 161—163]. Отметим, что если
— коэффициенты Фурье элементов
относительно полной ортонормированной системы
, т. е.
то имеет место, как и в [47], обобщенное уравнение замкнутости
Из сказанного вы
следует, что сходимость ряда в
есть сходимость в среднем
где
сумма первых
членов ряда.