16. Определитель Грамма. Неравенство Адамара.

Пусть имеется векторов:

Составим определитель порядка m из скалярных произведений и введем для него специальное обозначение:

Этот определитель называется определителем Грамма векторов

Разберем отдельно случаи .

Общий член написанного определителя имеет вид:

При определитель (35) равен произведению определителей

причем применяется правило строка на столбец. Принимая во внимание неизменность величин определителя при замене строк столбцами, можем утверждать, что второй множитель будет комплексно сопряженным с первым, и, следовательно, величина определителя Грамма (35) при» равна квадрату модуля определителя образованного составляющими векторов Таким образом, определитель (35) положителен, если указанные векторы линейно независимы, и равен нулю, если они линейно зависимы [12]. При мы имеем две прямоугольные таблицы:

и таблица, входящая в определитель (35), является произведением последних двух таблиц [7]. В силу теоремы, доказанной в [7], определитель (35) равен нулю при Но в этом случае векторы линейно-зависимы [12]. При в силу указанной выше теоремы,

где означает миноры таблицы (36 и миноры таблицы (362). Как и выше, W и есть число, сопряженное с и последняя формула переписывается в виде:

Если векторы - линейно-независимы, то ранг таблицы равен [12], и среди неотрицательных слагаемых, стоящих в правой части равенства (37), по крайней мере одно слагаемое положительно.

Если же упомянутые векторы линейно-зависимы, то ранг таблицы меньше все определители порядка , содержащиеся в этой таблице, равны нулю, и из (37) следует, что в этом случае Таким образом, рассмотрение всех трех случаев: приводит нас к следующей общей теореме:

Теорема. Определитель Грамма положителен, если векторы линейно-независимы, и равен нулю, если они линейно-зависимы.

Сейчас мы докажем еще одну формулу для определителя Грамма. Предварительно условимся в некоторых обозначениях. Пусть любой вектор из ЯПУ и для него имеет место разложение где у принадлежит подпространству, определяемому векторами к этому подпространству. Формула, которую мы хотим доказать, имеет вид:

Принимая во внимание равенства: которые следуют из ортогональности z ко всем и формулу можем написать:

Представляя элементы последней строки в вице:

и представляя определитель в виде суммы двух определителей согласно свойству IV из [3], можем написать:

Вектор у принадлежит подпространству, определяемому векторами т. е. линейно выражается через и потому, в силу доказанной теоремы:

Разлагая определитель формулы (39) по элементам последней строки, мы и получаем формулу (38).

Из этой формулы непосредственно следует неравенство

Отметим, что если векторы линейно-зависимы, то

Если - линейно - независимы, то в неравенстве (40) имеет место знак равенства в том и только в том случае, когда т. е. когда ортогонален ко всем

Если мы к исходному определителю Грамма применим несколько раз неравенство (40), то получим для него следующую оценку:

При этом надо иметь в виду, что

Знак равенства в (41) имеет место в том и только в том случае, когда векторы попарно ортогональны. Считается при этом, что ни один из векторов не есть нулевой вектор. Доказанное неравенство легко приводит к оценке любого определителя. Пусть — определитель порядка с элементами . Будем рассматривать элементы строки этого определителя как составляющие некоторого вектора из Составим новый определитель с элементами — сопряженными с . Он равен, очевидно, . Умножая на по правилу строка на строку, получим определитель Грамма величина которого, в силу теоремы об умножении определителей, равна т. е. равна Применяя неравенство (41), получим следующую оценку для модуля определителя, принадлежащую Адамару:

Если определитель имеет вещественные элементы, то можем написать:

Если для элементов определителя имеет место оценка , то, очевидно:

и (42) дает оценку:

Знак равенства в (42) имеет место, в силу сказанного выше, в том и только в том случае, когда векторы попарно ортогональны.

Можемполучить и другие оценки для определителя Грамма. Они основываются на неравенстве, которое является обобщением неравенства (40).

Пусть каждая из букв X, Y, Z обозначает последовательность некоторых векторов из Неравенство, о котором мы упоминали, имеет вид:

В этом неравенстве не исключен случай пустой последовательности векторов, т. е. такой последовательности, которая не содержит ни одного вектора. Если W — такая последовательность, то надо считать

На основе этого неравенства может быть получена следующая оценка определителя Грамма:

где — знак произведения. Многократное применение этой оценки приводит к новым оценкам, в которых определитель Грамма содержит меньшее число векторов. Во всех этих оценках знак равенства имеет место в том и только в том случае, когда векторьг попарно ортогональны. Указанные только что оценки определителя Грамма даны М. К. Фаге (Доклады Академии наук СССР, 1946 г., т. LIV, № 9).