44. Функции от матриц.

Матрица может играть роль аргумента некоторой функции. Мы ограничимся здесь рассмотрением наиболее элементарных функций, а именно полинома от матрицы и рациональной дроби. Более подробное рассмотрение теории функций матриц мы сделаем впоследствии, после изложения теории функций комплексного переменного. Полином степени от переменной матрицы А имеет вид:

где некоторые численные коэффициенты. Значение функции в данном случае есть тоже некоторая матрица, элементы которой выражаются, очевидно, по формулам:

где

Можно рассматривать полином и от нескольких матриц, но при этом надо иметь в виду некомтиутативность этих матриц при умножении. Общий вид полинома второй степени от двух переменных матриц А и В будет:

Заменим в формуле (216) матрицу А некоторой подобной ей матрицей Принимая во внимание, что будем иметь:

т. е.

Аналогичная формула будет иметь место и для полинома от нескольких матриц

Остановимся теперь несколько подробнее на случае эрмитовских матриц. Если А есть эрмитовская матрица, то непосредственно из определения следует, что любая целая положительная степень а также произведение с А, где — вещественная постоянная, суть также эрмитовские матрицы. Кроме того, сумма эрмитовских матриц есть также эрмитовская матрица. Отсюда непосредственно следует, что если в формуле (216) А есть эрмитовская матрица и коэффициенты вещественные числа, то и значение функции будет эрмитовской матрицей. эрмитовская матрица очевидно, коммутирует с А, и их можно одновременно привести к диагональной форме при помощи некоторого унитарного преобразования. Заметим прежде всего, что если мы подставим в функцию (216) вместо А некоторую диагональную матрицу то в результате получим, очевидно, также диагональную матрицу

где есть численное значение нашего полинома при подстановке вместо А числа

Положим теперь, что V есть унитарное преобразование, преобразующее матрицу А к диагональной форме

В силу (217) и (219) будем иметь:

т. е. V преобразует и к диагональной форме, причем суть характеристические числа этой последней матрицы.

Перейдем теперь к рассмотрению рациональных дробей. Пусть два полинома от матрицы А. Рассмотрим их частное

Как мы раньше видели, частное двух матриц не имеет, вообще говоря, определенного значения [26], но в данном случае, как нетрудно показать, мы получим для частного (220) одно определенное значение, если только определитель матрицы отличен от нуля. Частное (220) можно записать двояко:

Покажем, что эти два произведения равны между собой:

или, что равносильно:

Так как наши полиномы содержат только одну матрицу А, то они коммутируют, т. е. (221) действительно имеет место, и наше частное (220) имеет определенное значение. Нетрудно проверить дальше, что рациональные дроби в случае одной матрицы перемножаются, как и обычные дроби. Действительно:

или, принимая во внимание коммутативность:

В качестве примера рассмотрим рациональную дробь вида:

где А — некоторая эрмитовская матрица, т. е. Легко показать, что матрица U будет унитарной, т. е. что

Действительно, мы имеем:

откуда, переходя к транспонированной матрице, получим [26]:

или, в силу того, что что

т. е. (223) выполнено, и U есть действительная унитарная матрица. Формулу (222) мы можем записать в виде:

причем, в силу (222), U коммутирует с А, и значит

Совершенно так же, как и выше, можно показать, что если U есть унитарная матрица и определитель матрицы отличен от нуля, то А, определяемая формулой (224), будет эрмитовской матрицей. Таким образом, всякую унитарную матрицу, для которой можно представить через эрмитовскую матрицу А по формуле (222).