83. Бесконечно малые преобразования.

Пусть, как и выше, имеется непрерывная группа G линейных преобразований порядка определяемая параметрами . Будем, как и выше, обозначать символом матрицу преобразования, соответствующего параметрам так что линейное преобразование имеет вид:

где — любой вектор -мерного комплексного пространствами преобразованный вектор. Введем операцию дифференцирования матрицы, а именно: если элементы некоторой матрицы А суть дифференцируемые функции некоторого параметра то производной от

матрицы А по параметру t назовем матрицу, элементы которой получаются дифференцированием элементов матрицы А по t, т. е.

Если элементы А зависят от нескольких переменных, то мы будем иметь частные производные.

Совершенно так же, если составляющие некоторого вектора из пространства суть дифференцируемые функции t, то вектор определяется как вектор с составляющими, т. е. дифференцирование вектора сводится к дифференцированию его составляющих [II, 119].

Введем теперь так называемые бесконечно малые преобразования группы О:

Символ обозначает, очевидно, некоторую матрицу порядка с численными элементами.

Обратимся теперь к формуле (202) и положим, что и есть фиксированный вектор, т. е. его составляющие не зависят от Преобразованный вектор уже зависит, вообще говоря, от этих параметров, и мы выведем сейчас основные дифференциальные уравнения для этого вектора. Для этого применим к обеим частям (202) линейную операцию, определяемую матрицей

где и параметры определяются через согласно основной групповой операции (193). Дифференцируем обе части последней формулы по и полагаем затем Пользуясь определением (203), получим:

Первый сомножитель под знаком суммы равен, очевидно, производной от правой части (202) по и, принимая во внимание обозначение (196), можем переписать последнюю формулу в виде:

Если ввести векторы:

то предыдущие формулы можно записать в виде линейного преобразования

где обычное обозначение транспонированной матрицы. Умножая слева на и принимая во внимание (197), получим:

или, в раскрытом виде:

Для составляющей вектора определяемого формулой (202), мы имеем:

где составляющие матрицы . К уравнению (204) для мы должны добавить начальное условие, непосредственно вытекающее из формулы

где и — произвольный заданный вектор. Отметим, что величины входящие в коэффициенты уравнения (204), определяются непосредственно по групповой операции (193). Уравнение (204) приведет нас к некоторым соотношениям между . Для этого достаточно написать, что вторая производная от по не зависит от порядка дифференцирования.

Из (204) следует:

или, заменяя величину ее выражением из (204) при получим:

Переставляя справа и q и приравнивая полученную правую часть написанной выше, будем иметь следующее следствие системы (205):

Положим в этом соотношении все равными нулю. Принимая во внимание формулы (199) и тот факт, что если все равны нулю, получим:

откуда следуют, в силу произвольности вектора и, следующие соотношения между бесконечно малыми преобразованиями:

Мы определили и доказали соотношения (208), исходя от заданной непрерывной группы и пользуясь уравнением (204). Покажем, что это уравнение или, что то же, система (205), имеет единственное решение при заданном начальном условии (206). Пусть имеются два таких решения. В силу линейности уравнения (204) их разность также должна удовлетворять уравнению и должна обращаться в нулевой вектор при . Таким образом, надо показать, что решение уравнения (204) при нулевом начальном условии равно тождественно нулю. Для простоты письма будем считать . Пусть упомянутое решение. Напишем уравнение (204) при и в правой части положим . Получится обыкновенное дифференциальное уравнение с независимой переменной 04 и нулевым начальным условием. В силу известной теоремы единственности [11,50], оно тождественно равно нулю, т. е. . Напишем теперь уравнение (204) при и в правой части положим Это обыкновеннее дифференциальное уравнение с независимой переменной имеет, как мы только что показали, нулевое начальное условие: при а потому, в силу теоремы единственности Напишем теперь уравнение (204) при Это обыкновенное дифференциальное уравнение имеет нулевое начальное условие: при и, следовательно, что мы и хотели доказать.

Таким образом уравнение (204) может приводить только к одному конечному преобразованию (202) при заданных бесконечно малых преобразованиях и заданных которые определяются групповой операцией (193). Иначе говоря, бесконечно малые преобразования определяют группу. Это будет нам существенно в дальнейшем. Доказательство существования решения уравнения (204) основано на одной общей теореме из уравнений с частными производными, которая применительно к уравнению (204) формулируется следующим образом: для того чтобы уравнение (204) имело решение при любом начальном условии (206), необходимо и достаточно, чтобы квадратная скобка, входящая в формулу (207), при любом выборе и q была равна нулю тождественно относительно

Дальше мы не будем пользоваться этой теоремой существования.