48. Линейные преобразования с бесчисленным множеством переменных.

Рассмотрим в кратких чертах линейные преобразования с бесчисленным множеством переменных:

или

где А есть бесконечная матрица с элементами

Поставим прежде всго условие, чтобы бесконечные ряды, входящие в правые части равенств (266), были сходящимися для любого вектора из пространства Как мы знаем, это условие будет выполнено, если ряды

будут сходящимися при всяком L Можно показать, что это условие не только достаточно, но и необходимо. Если это условие не выполнено, то ряды, стоящие в правых частях равенств (266), будут сходящимися не для всего пространства но лишь для некоторой его части.

Естественно также поставить условие того, чтобы числа получаемые в результате преобразования (266), также являлись составляющими некоторого вектора пространства если суть составляющие некоторого вектора, т. е. чтобы ряд

был сходящимся, если только сходится ряд

Если матрица А удовлетворяет обоим вышеуказанным условиям, то соответствующее преобразование А называется ограниченным преобразованием. Смысл этого термина заключается в том, что для такого преобразования можно показать существование положительного числа М такого, что

или в раскрытом виде:

Остановимся на одном частном случае линейных преобразований. Рассмотрим линейное преобразование

причем, как всегда, считаем, что ряды

сходятся при всяком Введем в рассмотрение векторы с составляющими: и положим, что коэффициенты таковы, что векторы образуют полную ортонормированную систему. Как мы показали выше, это равносильно ортогональности и нормированности таблицы по строкам и столбцам, т. е.

Соответствующее преобразование (270) называется в этом случае унитарным.

Равенства (270) мы можем записать в виде:

Формула замкнутости дает:

т. е., как и в случае конечного числа измерений, унитарное преобразование не меняет длины вектора, и в формуле (268) мы можем считать

Систему (270) или, что то же, (272) нетрудно решить относительно если задгчные числа таковы, что ряд из квадратов их модулей сходится. Принимая во внимание, что векторы образуют по условию полную ортонормированную систему, получаем в силу (272)

или

Формулы эти показывают, что преобразование, обратное унитарному, получается заменой строк столбцами и всех элементов сопряженными, т. е. здесь имеет место полная аналогия со случаем конечного числа измерений

В общем случае даже ограниченных мафиц вопрос об обратной матрице и о приведении матрицы к диагональной форме предаавляет большие трудности и приводит к результатам, которые не имеют своего точного аналога в пространстве с конечным числом измерений. Подробное рассмотрение теории бесконечных матриц проведено в пятом томе. Здесь мы ограничимся указанием лйшь некоторых результатов. Приведем необходимое и достаточное условие для при котором формула (266) дает ограниченное преобразование. Оно формулируется так: существует такое положительное число М, что при любом целом положительном I и для любых комплексных чисел выполняется неравенство

Доказывается и следующее достаточное условие ограниченности преобразования (266): существует такое положительное число зависящее от I и , что выполняются неравенства:

Если матрица А определяет ограниченное преобразование (266), то существует единственная матрица А, также определяющая ограниченное преобразование и такая, что для любых х и у выполняется равенство

и элементы этой матрицы А выражаются через элементы А по формулам Если А совпадает с А, т. е. то ограниченное преобразование (266) (или матрица А) называется самосопряженным (самосопряженной).

Для ограниченных преобразований имеет место формула:

Отметим один важный частный случай ограниченных операторов, а именно тот случай, когда сходится двойной ряд

При этом двойной ряд

абсолютно сходится при любом выборе векторов Если, кроме сходимости ряда (275), мы имеем имеет место возможность приведения формы Эрмита к сумме квадратов при помощи унитарного преобразования

где — вещественные числа векгор получается путем применения к вектору некоторого унитарного преобразования: При этом при (может случиться, что при всех достаточно больших k). Если А и В — две бесконечные матрицы, дающие ограниченные преобразования, то их последовательное применение дает также ограниченное преобразование, коэффициенты которого вычисляются по обычным формулам

Отметим еще, что если последовательность векторов имеет предел т. е. если если А — матрица ограниченного преобразования.

Существенно важную роль в приложениях к математической физике играют и неограниченные линейные преобразования. Их исследование изложено в пятом томе.