19. Неявные функции.

Мы доказали в томе I теорему о существовании неявной функции [1, 15,7], определяемой одним уравнением. Обобщим теперь эту теорему на случай системы уравнений. Формулируем сначала доказанную теорему: пусть решение уравнения

и пусть и ее частные производные первого порядка — непрерывные функции при и при всех значениях , достаточно близких к ним, и пусть, наконец, частная производная отлична от нуля при При этом уравнение (72) определяет при достаточно близких к единственную функцию у непрерывную, имеющую производную и удовлетворяющую условию Как мы уже упоминали, совершенно так же можно доказать, что уравнение

имеющее решение при условии непрерывности функции и ее частных производных первого порядка в окрестности указанных значений и при условии определяет единственную функцию непрерывную в окрестности имеющую производные полтину и удовлетворяющую условию . Рассмотрим теперь систему двух уравнений:

Пусть эта система имеет решение функции и их частные производные непрерывны в окрестности указанных значений, и функциональный определитель:

отличен от нуля при указанных значениях переменных. При этом система (73) определяет при достаточно близких к единственную систему функций непрерывных, имеющих производные первого порядка и удовлетворяющих условию

Так как выражение (74) отлично от нуля при то по крайней мере одна из частных производных или отлична от нуля.

Положим, например, что отлична от нуля при указанных значениях переменных. Согласно формулированной выше теореме, второе из уравнений (73) определяет единственным образом функцию Подставляя эту функцию в первое из уравнений системы, получим уравнение с переменными x и у:

Чтобы доказать теорему, нам остается только показать, что частная производная от левой части уравнения (75) по у отлична от нуля при Эта частная производная выразится формулой:

где есть полная производная от по аргументу у.

Функция есть решение второго из уравнений (ТЗ), что приводит к тождеству:

Дифференцируя это тождество по у, получим:

Умножим обе части (76) на и сложим с тождеством (77), предварительно умножив обе его части на Мы получим таким образом после элементарного преобразования:

При функция обращается в и при указанных значениях переменных и (74) отличны от нуля, а потому также отлична от нуля. Следовательно, уравнение (75) определяет единственную функцию у Подставляя ее в получаем и как функцию от Это доказательство справедливо для случая нескольких независимых переменных.

В общем случае теорема о неявных функциях читается так: пусть имеется система уравнений:

имеющая решение

пусть непрерывные функции с непрерывными частными производными первого порядка в окрестности значений (79) и пусть, наконец, функциональный определитель

отличен от нуля при значениях (79). При этом уравнения (78) при достаточно близких к определяют единственную систему функций непрерывных, имеющих производные первого порядка и удовлетворяющих условию

Наметим доказательство этой теоремы. Считая теорему справедливой для системы () уравнений (при и она действительно справедлива), докажем ее для системы уравнений. Разлагая определитель (80) по элементам первого столбца, можем утверждать, что хоть одно из алгебраических дополнений этих элементов отлично от нуля при значениях (79), ибо сам определитель при этих значениях по условию отличен от нуля. Соответственно нумеруя функции можем считать, что отлично от нуля алгебраическое дополнение элемента

Это алгебраическое дополнение

представляет собою функциональный определитель от функций но переменным Согласно теореме для систем уравнений, уравнения:

определяют единственным образом функции

Подставляя эти функции в первое из уравнений системы (78), получим уравнение для определения

Нам остается проверить, что полная производная от левой части этого уравнения по отлична от нуля при значениях (79). Эта производная выражается формулой:

Подставляя функции (82) в левые части уравнений (81), получим тождества, которые дифференцируем по

Обозначим через алгебраические дополнения элементов первого столбца определителя (80). Умножим (84) на на и вычтем последние тождества из первого. Таким путем мы получим равенство:

В правой части первая сумма дает определитель (80), который мы для краткости обозначим просто буквой D, а суммирование по во второй части представляет собою сумму произведений элементов некоторого столбца D, с номером, отличным от единицы, на алгебраические дополнения соответствующих элементов первого столбца, т. е. эта сумма равна нулю. Заметим при этом, что дифференцирование по все равно что дифференцирование по Таким образом предыдущая формула переписывается в виде:

При значениях и D отличны от нуля, и, следовательно, то же можно утверждать и относительно производной левой части уравнения (83) по и это уравнение дает единственную функцию подставив которую в функции (82), получаем окончательный результат.

Частным случаем теоремы о неявных функциях является теорема об обращении системы функций. Пусть имеются уравнения

Положим, что функции непрерывны вместе со своими производными первого порядка в окрестности значений этих значениях функциональный определитель

отличен от нуля. При этом уравнения (86) определяют единственным образом как функции в окрестности значений причем эти функции непрерывны, имеют производные первого порядка и

Чтобы доказать эту теорему, достаточно рассмотреть уравнения:

и воспользоваться теоремой о неявных функциях, причем в данном случае роль играют

Если суть линейные однородные функции переменных , то система (86) имеет вид:

Определитель (87) в данном случае сводится к определителю из коэффициентов и возможность однозначного решения системы дается теоремой Крамера.