79. Примеры представления конечных групп.

1. Рассмотрим абелеву группу состоящую из элементов где причем элементы коммутируют, и при надо считать Каждый отдельный -зует класс, и все неприводимые представления группы имеют первый порядок. Пусть — какие-либо значения корней степени из единицы. Элементу мы сопоставляем число и таким образом, как нетрудно проверить, получаем представление группы. Придавая всевозможные значения упомянутых корней из единицы, получим всего различных представлений первого порядка. Общее число классов (т. е. элементов) также равно и тем самым построены все неэквивалентные, неприводимые представления. Аналогично строятся представления и в том случае, когда число „производящих элементов" (т. е. элементов ) не два, а больше.

2. Перейдем к группе диэдра порядка п. Она состоит из элементов

причем:

Последние из написанных соотношений непосредственно очевидны из геометрического смысла вращений А и . Из этого соотношения непосредственно следует соотношение Положим сначала, что есть нечетное число. Группа будет при этом состоять из классов. Один из них содержит классов содержат по два элемента причем и один класс содержит все элементы вида Все это легко проверяется при помощи указанных соотношений.

Имеются два представления первого порядка. В одном из них каждому элементу сопоставляется число 1. В другом элементу А сопоставляется 1 и элементу Т число Пусть, далее, Можно построить m представлений второго порядка, сопоставляя элементам А и Т следующие матрицы:

Написанные матрицы удовлетворяют соотношениям (181) и тем самым дают представление группы, ибо всякое соотношение между элементами А и Т является следствием соотношений (181). Неприводимость каждого из представлений вытекает из того, что в противном случае представление привелось бы к двум представлениям первого порядка, и матрицы нашего представления должны были бы коммутировать, чего нет на самом деле ни при каком s, в чем легко убедиться.

Неэквивалентность представлений (182) при разных s вытекает из того, что при разных s матрицы, соответствующие элементу А, имеют различные наборы характеристических чисел

Таким образом построена все (m + 2) неэквивалентных, неприводимых представлений. Формула (180) в рассматриваемом примере сводится к следующей:

При четном представление (182), соответствующее значению имеет вид:

и распадается на два представления первого порядка:

Чтобы получить это, достаточно применить такую матрицу S, что приводится к диагональному вицу, причем характеристические числа матрицы Т равны, очевидно, ± 1. Таким образом при имеются четыре представления первого порядка и (m — 1) представлений второго порядка. Формула (180) принимает вид:

Рассмотрим представления группы тетраэдра или, что то же, изоморфной ей знакопеременной группы при Группа состоит из четырех классов и порядок ее равен двенадцати. Она должна иметь четыре неэквивалентных, неприводимых представления. Порядки этих представлений должны удовлетворять равенству

Это уравнение имеет с точностью до порядка слагаемых в левой части единственное решение в целых положительных числах, а именно

т. е. группа имеет три представления первого порядка и одно третьего порядка. В представлениях первого порядка элементам, входящим в один и тот же класс, соответствует одно и то же число. Нетрудно показать, что в трех представлениях первого порядка классам соответствуют следующие числа:

где

Неприводимое представление третьего порядка дает сама группа тетраэдра, т. е. группа тех вращений пространства (матрицы третьего порядка), при которых тетраэдр переходит в себя. Если бы это представление оказалось приводимым, то оно должно было бы привести к трем представлениям первого порядка, что невозможно хотя бы потому, что группа тетраэдра не есть абелева группа. Изложенная в последних номерах теория касается конечных групп. Для того чтобы перенести ее на группу вращения, мы должны более подробно остановиться на рассмотрении бесконечных групп, зависящих от параметров. Прежде чем переходить к общему рассмотрению таких групп, мы изложим вопрос о линейных представлениях группы Лоренца. Эти представления, наряду с представлениями группы вращения, будут служить для нас основными примерами бесконечных групп, зависящих от параметров.