46. Сходимость векторов.

Пусть имеется бесконечная последовательность векторов Будем говорить, что эта последовательность стремится к вектору , или что вектор v есть предел этой последовательности, если при

Обозначая через составляющие а через составляющие v, можем написать условие (245) в раскрытом виде:

Раз сумма неотрицательных слагаемых должна стремиться к нулю, то то же можно утверждать и о каждом слагаемом, т. е. из (246) следует

т. е. каждая составляющая должна стремиться к соответствующей составляющей . Подробнее говоря, вещественная и мнимая части должны стремиться к вещественной и мнимой частям

Заметим, что из (246) следует (247), но обратное не верно, т. е. из (247) не следует (246). В качестве примера положим, что вектор имеет составляющие , причем единица стоит на месте, номер которого равен k. При беспредельном возрастании k каждая из составляющих станет равной нулю, т. е. при любом целом мы имеем: но в то же время сумма (246) все время остается равной единице.

Если последовательность стремится к я, то пишут Рассмотрим еще пример, когда сходимость имеет место. Пусть некоторый вектор. Определим векторы k) следующим образом: вектор имеет первые k составляющие те что и а остальные его составляющие равны нулю, т. е.:

Нетрудно показать, что Действительно, в рассматриваемом случае

и, в силу сходимости ряда с общим членом написанная сумма стремится к нулю при беспредельном возрастании k. Отметим некоторые простые правила, связанные с понятием предела. Если , то

Отметим, что скалярное произведение есть комплексное число и в последней формуле в связи с этим мы написали а не .

Можно сказать, что формула выражает непрерывность скалярного произведения. Мы имеем, в силу (234):

причем, в силу определения предела, Из написанного неравенства следует, что и

т. е. действительно . Далее, в силу определения предела, следует:

где . Для скалярного произведения имеем:

откуда

или, в силу (238):

Правая часть стремится к нулю, а потому и

В частности или

Легко доказать также, что если последовательность числа имеет предел с, то .

Имеег место также необходимое и достаточное условие существования предела, выражаемое обычным признаком Коши. Формулируем этот признак в данном случае. Пусть имеется последовательность векторов

Для того чтобы эта последовательность имела предел, необходимо и достаточно выполнение следующего условия: для любого малого и положительного существует такое N, что

если только N.

Покажем прежде всего необходимость условия. Пусть последовательность (248) имеет предел Мы можем при этом написать

и отсюда по правилу треугольника

Из определения предела непосредственно вытекает, что оба слагаемых в правой части стремятся к нулю при возрастании а следовательно, то же самое должно иметь место и для левой части, т. е. условие (249) при этом обязательно должно быть выполнено. Переходим теперь к доказательству достаточности условия (249). Положим, что это условие выполнено, и докажем, что последовательность (248) стремится к пределу. Условие (249) в раскрытом виде может быть записано так:

где составляющие

Отсюда непосредственно следует, что при любом мы имеем: при или, разлагая на вещественную и мнимую части

можем написать

Применяя признак Коши [1; 31], можем утверждать, что и b иеют пределы при . Обозначая их через можем утверждать, что имеет пределом комплексное число Покажем прежде всего, что ряд

сходится, т. е. что являются составляющими некоторого вектора. Удерживая в сумме (250) конечное число первых слагаемых и переходя в этой конечной сумме к пределу по будем иметь:

где М — любое целое число. Переходя в этом последнем равенстве к пределу при получим:

откуда непосредственно следует, что числа образуют составляющие некоторого вектора. То же самое мы знаем и относительно чисел а следовательно, то же мы можем утверждать и об их сумме, т. е. о числах Таким образом, эти числа суть составляющие некоторого вектора v, и неравенство (251) можно записать в виде;

при и, следовательно, последовательность (248) действительно имеет предел. Каждая составляющая вектора v определяется, очевидно, как предел откуда непосредственно следует, что этот предел может быть только один. Рассмотрим теперь бесконечную сумму векторов

Она называется сходящейся, если сумма первых слагаемых

имеет предел в указанном выше смысле при . В силу признака Коши, необходимым и достаточным условием сходимости является выполнение неравенства

при и любом .

Отметим, что из непрерывности скалярного произведения [46] непосредственно вытекает следующее: если ряд (252) сходится его сумма, любой элемент то

т. е., кратко говоря, скалярные произведения можно определять почленно.

Установим теперь необходимое и достаточное условие сходимости ряда (252), составленного из попарно ортогональных векторов Согласно признаку Коши мы должны составить выражение (253), квадрат которого, в силу теоремы Пифагора, равей

Отсюда непосредственно следует, что для сходимости ряда, составленного из попарно ортогональных векторов, необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд из квадратов норм членов ряда. Этот результат можно сформулировать и иначе. Пусть бесконечная ортонормированная система. Составим ряд

где некоторые комплексные числа. Из вышесказанного непосредственно следует, что необходимым и достаточным условием сходимости ряда (255) является сходимость ряда

Между прочим, из этого непосредственно следует, что перестановка слагаемых ряда (255) не нарушает его сходимости.

Можно показать, что при этом и сумма ряда не меняется. Положим, что ряд (255) сходится, и обозначим через его сумму

Умножая обе части на и принимая во внимание ортонормированность системы получим: Заменяя на и умножая обе часги скалярно на s, полупим:

т. е. коэффициенты сходящегося ряда суть коэффициенты Фурье его суммы, и для этой суммы имеет место формула замкнутости (256) по отношению к ортонормированной системе .

Вернемся к ряду (252) и положим, что члены ряда попарно ортогональны и что ряд сходится. Мы можем при этом написать где числа и образуют ортонормированную систему. Полученный выше результат можег быть записан в виде:

т. е. теорема Пифагора верна и для сходящихся рядов, члены которых попарно ортогональны.