57. Подгруппа.

Пусть имеется некоторая группа Q и положим, что совокупность Н элементов, содержащая лишь часть элементов группы G, также образует группу, при сохранении прежнего определения умножения. В этом случае группа Н называется подгруппой группы Q. Нетрудно видеть, что совокупность, состоящая из одного единичного элемента группы О, есть всегда подгруппа. Это — тривиальная подгруппа. В дальнейшем, говоря о подгруппе мы будем разуметь не тривиальную подгруппу.

Обозначим через элементы подгруппы Ну и пусть некоторый элемент общей группы О, причем не принадлежит Произведения как мы видели выше, дадут нам различные элементы группы О, причем эти элементы не принадлежат . Действительно, в противном случае мы имели бы при некоторых значениях значка а: откуда , т. е. должно принадлежать Ну что противоречит поставленному условию. Положим теперь, что суть два различных элемента общей группы G, не принадлежащих подгруппе Н. Покажем, что совокупности элементов или вовсе не имеют общих элементов, или совпадают, т. е. состоят из одних и тех же элементов. Действительно, если при некоторых значениях значка а мы имеем , то отсюда следует принадлежит совокупности элементов и точно так же принадлежит совокупности элементов Отсюда следует, что произведения определяют одну и ту же совокупность элементов.

Возьмем все элементы На подгруппы Н. Они не исчерпывают всех элементов группы G. Рассмотрим некоторый элемент не принадлежащий и составим всевозможные произведения которые, как мы видели выше, все различны между собою и отличны от На.

Может случиться, что элементы также не исчерпывают всей группы. Возьмем некоторый элемент группы не принадлежащий и составим всевозможные произведения Как мы видели выше, элементы будут все различны между собой и будут отличны от элементов На и Если элементы не исчерпывают всех элементов группы G, то возьмем некоторый элемент не принадлежащий указанным выше трем совокупностям элементов, и составим произведения Мы получим таким образом новые элементы группы и т. д. Положим, что путем конечного числа таких операций мы исчерпаем все элементы группы G. Пусть для этого потребуется элементов При этом все элементы группы G будут представлены в следующем

где значок а пробегает значения, соответствующие подгруппе Н. Если положим где как-нибудь фиксировано, то совокупность элементов как показано выше, будет совпадать с совокупностью Иначе говоря, в каждой совокупности любой элемент совокупности может играть роль представителя Отсюда непосредственно следует, что при заданной подгруппе На разбиение элементов группы G на совокупности вида (35) вполне определено. Совокупности называются совокупностями, сопряженными относительно подгруппы .

В рассматриваемом случае (35) подгруппа Н называется подгруппой конечного индекса, а именно подгруппой индекса т. Если группа G конечна, то индекс подгруппы Н будет равен, очевидно, частному от деления порядка всей группы О на порядок подгруппы Н, причем порядком конечной группы называется число содержащихся в ней элементов. Заметим, что из совокупностей (35) только первая совокупность образует подгруппу. Каждая из остальных совокупностей не содержит единичного элемента, а потому не может образовать подгруппы.

При построении схемы (35) мы умножали элементы На подгруппы И на элементы группы G слева. Можно было бы производить это умножение и справа. Вводя вместо другое обозначение Ой, мы пришли бы таким же образом к представлению элементов группы G вместо схемы (35) в следующем виде:

при этом индекс подгруппы не меняется. Совокупности элементов называются иногда сопряженными совокупностями слева, сопряженными совокупностями справа.

Заметим прежде всего, что если а пробегает все значения, соответствующие подгруппе И, то элементы дают все элементы Н. Это непосредственно следует из того, что элемент, обратный некоторому элементу, принадлежащему также принадлежит Н. Переходим теперь к доказательству совпадения индексов у совокупностей, сопряженных справа и сопряженных слева. Возьмем какие-нибудь две различные совокупности из причем для первой из совокупностей (35) мы можем считать, например, Возьмем обратные элементы:

Принимая во внимание сделанные выше замечания, мы можем переписать эти совокупности элементов в виде Нетрудно видеть, что они не имеют общих элементов. Действительно, если бы мы имели:

то отсюда вытекало бы

и оказалось бы, что принадлежит совокупности чего не может быть. Таким образом, оказывается, что совокупности

будут сопряженными совокупностями справа, так что в (36) можно просто брать

Рассмотрим некоторые примеры подгрупп. Пусть О — совокупность вещественных ортогональных преобразований с тремя переменными и Н — совокупность вещественных Ортогональных преобразований с тремя переменными и с определителем Всякое вещественное ортогональное преобразование будет или вращением, т. е. принадлежащим или произведением вращения на симметрию относительно начала, которая выражается формулами:

В данном случае группа G может быгь представлена следующей

или

где обозначает совокупность всех элементов группы . В данном случае На будет подгруппой индекса 2.

Пусть — симметрическая группа перестановок из элементов, Н — знакопеременная группа, состоящая из четных перестановок. Пусть далее S — какая-нибудь определенная нечетная перестановка, например перестановка, состоящая из одного цикла (1, 2), т. е. сводящаяся к транспозиции элементов 1 и 2. Мы можем, очевидно, и здесь представить G по схеме (38) или (39). В обоих случаях умножение слева приводит к тому же результату, что и умножение справа.

В данном случае знакопеременная группа будет подгруппой симметрической группы с индексом два.

Рассмотрим еще конечную группу правильного октаэдра, о которой мы говорили выше. Пусть А — некоторая вершина октаэдра и ось, проходящая через эту вершину. Пусть вращения на угол и вокруг этой оси. Эти вращения образуют подгруппу всей полной группы вращения октаэдра. Обозначим через вращения, переводящие вершину А в остальные пять вершин октаэдра. Мы можем представить полную группу октаэдра по следующей схеме:

т. е. подгруппа будет подгруппой индекса шесть.

Пусть какие-либо элементы группы . Рассмотрим множество всех тех элементов группы , которые можно представить в виде произведения элементов

Это множество элементов образует, очевидно, группу, которая является подгруппой для G или совпадает с .

Говорят, что эта подгруппа порождается данной совокупностью элементов