37. Одновременное приведение двух квадратичных форм к сумме квадратов.

Пусть имеются две квадратичные формы:

причем определенно положительна, т. е. приводится к сумме положительных квадратов. Требуется найти такое линейное преобразование (не обязательно ортогональное), чтобы в результате его обе формы перешли в сумму квадратов.

Прежде всего, введем такие новые переменные чтобы форма перешла в сумму квадратов. Это можно сделать, например, элементарным приемом, указанным в предыдущем номере. В новых переменных будем иметь следующие представления квадратичных форм:

По условию все числа положительны, и мы можем ввести новые вещественные переменные При этом получим формулы вида:

Совершим ортогональное преобразование от переменных к новым переменным приводящее форму к сумме квадратов.

При этом останется суммой квадратов, так как преобразование ортогонально, и мы будем иметь окончательно обе формы в виде суммы квадратов:

Числа называются иногда характеристическими числами формы по отношению к форме

Установим теперь то уравнение, которому должны удовлетворять эти числа и которое будет вполне аналогично уравнению (144) из [32]. Для этого введем понятие о дискриминанте квадратичной формы, а именно: дискриминантом квадратичной формы называется определитель, составленный из ее коэффициентов

Положим, что мы преобразуем форму с матрицей коэффициентов А к новым переменным при помощи преобразования

Матрица новой формы будет, как известно [32]:

и ее определитель вычисляется по формуле

Определители очевидно, равны, так как соответствующие таблицы получаются одна из другой лишь заменой строк столбцами. Мы имеем таким образом

т. е. при линейном преобразовании переменных в квадратичной форме дискриминант формы умножается на квадрат определителя преобразования от новых переменных к первоначальным.

Вернемся теперь к нашим квадратичным формам и составим квадратичную форму

коэффициенты которой содержат параметр X.

В результате преобразования к новым переменным эта форма будет иметь вид:

и ее дискриминант в новых переменных выражается, очевидно, произведением

а в старых переменных этот дискриминант будет равен определителю с элементами . Как мы показали, эти два дискриминанта будут отличаться лишь множителем — квадратом определителя преобразования, не содержащим X и отличным от нуля. Отсюда непосредственно следует, что оба дискриминанта имеют одинаковые корни относительно параметра X. Принимая во внимание (163), видим, что числа ХЛ суть корни уравнения