39. Экстремальные свойства собственных значений квадратичной формы.

Рассмотрим задачу приведения вещественной квадратичной формы к сумме квадратов с новой точки зрения. Для простоты ограничимся случаем трех переменных

где связаны с некоторым ортогональным преобразованием

Для определенности будем считать, что числа идут в убывающем порядке, т. е.

Нашей задачей будет определение чисел и коэффициентов по значениям формы на единичной сфере , т. е. на сфере с центром в начале координат и радиусом единица:

Каждая точка такой сферы характеризует некоторое направление в пространстве, определяемое единичным вектором, идущим из начала в упомянутую точку. Мы можем написать формулу (174) в виде:

откуда видно, что на упомянутой единичной сфере К будем иметь:

Отсюда непосредственно следует, что есть максимум на К. Этот максимум достигается, очевидно, в точке

или, в силу (175), в прежних координатах это будет точка сферы К с координатами:

Эта точка определяет вектор, соответствующий первому столбцу ортогонального преобразования (175), т. е. вектор, являющийся решением уравнения

при Итак, первое по величине собственное значение квадратичной формы (174) равно максимуму значения этой формы на единичной сфере, а соответствующий собственный вектор являющийся решением уравнения (178), есть вектор, идущий из начала в ту точку единичной сферы, где упомянутый максимум достигается.

Перейдем теперь к определению второго собственного значения и соответствующего собственного вектора. Положим в формуле Этому уравнению соответствует плоскость, проходящая через начало и перпендикулярная к вектору Сечение этой плоскости с единичной сферой даст окружность

На этой окружности мы имеем:

откуда непосредственно видно, что есть максимум значений на единичной сфере при условии перпендикулярности соответствующих векторов уже найденному вектору Точно так же, как и выше, докажем, что собственный вектор т. е. решение уравнения (178) при есть вектор, идущий в ту точку, где этот максимум достигается.

Имея два вектора, мы получим и третий как перпендикулярный к ним обоим, а собственное значение будет значением формы в той точке единичной сферы, в которой она пересекается с вектором

Если бы, например, мы имели то при отыскании первого максимума формы на единичной сфере мы получили бы не точку, а целую окружность, где этот максимум достигается.

Предыдущее рассуждение легко переносится и на случай любого числа измерений. Мы приведем для этого общего случая лишь результат, вполне аналогичный предыдущему. Пусть имеется вещественная квадратичная форма переменных:

Единичный вектор в вещественном -мерном пространстве будет изображаться совокупностью вещественных чисел, сумма квадратов которых равна единице. Мы будем говорить, что концы таких векторов лежат на единичной сфере, и уравнение этой единичной сферы будет, очевидно:

Наибольшее характеристическое число формы будет равно максимуму этой формы на единичной сфере (180), и соответственный собственный вектор будет определяться вектором идущим из начала в ту точку сферы, где достигает максимума Для получения второго по величине характеристического числа будем рассматривать единичные векторы, перпендикулярные к уже найденному вектору Среди них найдется такой , который даст наибольшее значение формы . Этот второй максимум и будет равен второму собственному значению формы, а упомянутый вектор будет соответствующим собственным вектором. Рассмотрим теперь единичные векторы, перпендикулярные к что равносильно присоединению к условию (180) еще двух условий:

Среди них найдется такой, который опять даст форме наибольшее значение. Это значение и будет третьим по величине собственным значением формы а упомянутый вектор будет соответствующим собственным вектором и т. д.

Мы могли бы расположить собственные значения квадратичной формы не в убывающем, а в возрастающем порядке, так что первое собственное значение было бы наименьшим, следующее — вторым в порядке возрастания и т. д.

При этом мы получили бы задачи, совершенно аналогичные предыдущим, но только везде, где говорилось о наибольшем значении, нам пришлось бы говорить о наименьшем значении.

Все предыдущие рассуждения обобщаются также и на случай одновременного приведения двух квадратичных форм к сумме квадратов. Пусть две квадратичные формы:

приводятся к сумме квадратов

при помощи линейного преобразования

причем мы считаем, что числа идут в убывающем порядке.

При этом будет наибольшим значением при условии, что причем это наибольшее значение будет достигаться как раз при

Аналогично определяются и следующие собственные значения