70. Теорема о простоте группы вращения.

Докажем сейчас, что группа вращения есть простая группа, т. е. что она не имеет нормальных делителей [68]. Если бы такой делитель имелся, то в силу сказанного в [63] ему соответствовал бы нормальный делитель группы G преобразований (57) с определителем единица, отличный от нормального делителя Я, состоящего из . Таким образом, остается показать, что группа G не имеет нормальных делителей, отличных от т. е. надо показать, что если элементарный делитель группы G содержит матрицу отличную от то совпадает с Q. Отмегим прежде всего, что если содержит некоторую матрицу В, то в силу определения нормального делителя, содержит все матрицы где - любая матрица группы G. Выбирая соответавующим образом матрицу мы можем получить таким путем любую матрицу группы , имеющую те же характеристические числа, что и матрица В. Следовательно, чтобы установить, что совпадает с G, достаточно показать, что содержит матрицы с любыми допустимыми характеристическими числами. Эти числа должны иметь вид , где — вещественное число, ибо матрица унитарна, и ее определитель равен единице.

В силу сказанного выше мы можем вместо матрицы А взять матрицу и, таким образом, можем считать, что А есть диагональная матрица.

Итак, дано, что содержит матрицу , где вещественно, и . При этом . Возьмем произвольную матрицу группы G:

При этом

Поскольку подгруппа Ну содержит А и является нормальным делителем, она должна содержать и матрицу:

Производя перемножение матриц и учитывая равенство получим следующее выражение следа матрицы

где может принимать любое значение из промежутка: и Характеристические числа матрицы Y суть корни уравнения:

При изменении от до значения а будут изменяться от до . Введем следующее обозначение:

Из сказанного выше следует, что Ну содержит все матрицы На при . Теперь уже нетрудно показать, что Н содержит любую матрицу Действительно, выберем целое положительное число так, чтобы выполнялось неравенство При этом содержит а потому содержит и

Таким образом, Ну содержит матрицы с любыми характеристическими числами и тем самым, в силу сказанного выше, совпадает с G. Таким образом доказано, что группа вращения есть простая группа.

Из этого непосредственно следует, что группа вращения не может иметь гомоморфных (не изоморфных) представлений. Действительно, если бы имелось такое представление, то тождественному преобразованию в группе представлений должны были бы соответствовать в группе вращений преобразования, образующие нормальный делитель, которого, как показано выше, не существует.